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\centerline{2008年度数学I期末テスト解説}
\medskip
\rightline{2009年2月17日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は順に，20, 20, 20, 20, 30点の110点満点です．
さらに，演習の成績が順当な人にはプラス6点をつけ，
50点にぎりぎり不足していて演習成績が順当な人には50点を
つけました．この点数(100点で頭打ち)が赤で答案の
上に書いてあります．たとえば $63+6$ というのは，試験の
成績が63点で演習分のプラスがついて，69点になったという
意味です．この平均点は66.8点，最高点は100点(6人)でした．
返却する答案はコピーがとってあります．
この点数の分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 15  (人) && 22 && 13 && 23 && 17 && 9   && 6 & \cr
\vsp\t
}}$$

演習の成績は次のようにつけました．演習7回のうち一番悪い1回分を
除いた残りの平均点を $x$ 点として，$0.99x$ を四捨五入したものを
成績とします．(欠席の回は0点とします．)
前半の問題が易しく，点が高めになったため，
0.99をかけることにしましたが，
期末試験の成績が特に良い人については
この0.99をかけるのをやめにしてあります．
また，これによって45点以上50点未満の人は
50点としました．それ以外の45点未満の人は，
期末試験の結果と合わせて総合的に判断した結果，1人を50点に
しました．これによって演習の総合点の平均点は73.0点，
最高点は99点(1人)となります．
この点数が答案上部に青で書いてあります．
この点数分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 3 (人) && 16 && 15 && 35 && 25 && 12 && 0 & \cr
\vsp\t
}}$$

以下，各問の解説です．

\medskip [1]
(1) $\log(1+x)=\dsize\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$ で
$x$ に $x^3$ および $-x^3$ を代入したものの差をとれば，
$\dsize\sum_{n=1}^\infty\frac{2x^{6n-3}}{2n-1}$ を得る．
Taylor 展開の一般論よりこれが求める Taylor 展開である．

(2)
$\dsize\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{6n}}{2n-1}$ の収束半径
を求めればよい．ここで $x^6=t$ とおいて D'Alambert の
公式をつかえば $(2n+1)/(2n-1)\to 1$ より $t$ の整級数として
の収束半径は 1 である．$x^6=t$ より，もとの整級数の
収束半径も 1 である．

\medskip [2]
$x=(r\cos\theta)/a$, $y=(r\sin\theta)/b$ とおくと，
$D$ は $\{(r,\theta)\mid 0\le r \le1, 0\le\theta < 2\pi\}$
に変換される．Jacobi 行列は，
$\dsize\left(\matrix \frac{\cos\theta}{a} &
\frac{-r \sin \theta}{a}\\
\frac{\sin\theta}{b} &
\frac{r \cos \theta}{b}\endmatrix\right)$ なので，
Jacobian は $r/(ab)$ となり，変数変換の規則は
$dx\;dy=\dfrac{r}{ab}\;dr\;d\theta$ となる．
これより，問題の重積分は
$$\frac{1}{ab}\int_0^{2\pi}\int_0^1
r^3\left(\frac{\cos^2\theta}{a^2}+
\frac{\sin^2\theta}{b^2}\right)\;dr\;d\theta$$
となる．この値を計算すると
$\dfrac{\pi}{4ab}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)$
となる．

\medskip [3]
(1) $\left|\dfrac{e^{-tx^2}}{1+x^2}\right| \le
\dfrac{1}{1+x^2}$ であり，
$\dsize\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\;dx=\pi$ は
広義積分可能である．よって，$f(t)$ も広義積分可能である．

(2) 積分の中味を $t$ で微分すると，
$\dfrac{-x^2 e^{-tx^2}}{1+x^2}$ となる．$0 < \alpha < t < \beta$
のとき，$\left|\dfrac{-x^2 e^{-tx^2}}{1+x^2}\right|
\le e^{-\alpha x^2}$ であり，
$\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\;dx$ は $\alpha > 0$
より広義積分可能である．これより，積分記号下での微分が，
$0 < \alpha < t < \beta$ で許される． $\alpha, \beta$ は
任意なので，任意の $t$ で $f(t)$ は微分可能である．

(3) (2)より，$f'(t)=\dsize
\int_{-\infty}^\infty \frac{-x^2 e^{-tx^2}}{1+x^2}\;dx$
である．よって，
$$\sqrt{t}(f(t)-f'(t))=\sqrt{t} \int_{-\infty}^\infty e^{-tx^2}
\;dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\;dx=\sqrt{\pi}$$
を得る．二番目の等号は $\sqrt{t}x$ を $x$ と置き直した
置換積分による．

\medskip [4]
(解答例)
$f(x,y)=\cos x + \cos y$ とおく．
$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\sin x$,
$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\sin y$ より，
$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$ となる点は
$(n\pi,m\pi)$, ($n,m$ は整数), であり確かに無限個ある．
また，このとき Hesse 行列は
$\dsize\left(\matrix -\cos x & 0 \\
0 & -\cos y\endmatrix \right)$ になる．この行列式は，
$\cos x \cos y$ であるから，
$(n,m)$ の偶奇が，
偶数，偶数のとき $f(x,y)$ は極大値，
偶数，奇数のとき $f(x,y)$ は鞍点，
奇数，偶数のとき $f(x,y)$ は鞍点，
奇数，奇数のとき $f(x,y)$ は極小値となる．いずれも無限回
とることは明らかである．

\medskip [5]
(1) $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^2-3y$,
$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-3x+3y^2$ より，
これが共に 0 となる点は，$(0,0), (1,1)$ である．
Hesse 行列は
$\dsize\left(\matrix 6x & -3 \\
-3 & 6y\endmatrix \right)$ であり，$(x,y)=(0,0)$ では
この行列式は負，$(x,y)=(1,1)$ では正である．よって前者は
鞍点，後者は極値となる．$(x,y)=(1,1)$ では Hesse
行列の1行1列成分が正なので極小値を取る．
よって答えは，$f(1,1)=-1$ が極小値である．

(2) $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y(3x^2+y^2-1)$,
$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x(x^2+3y^2-1)$ より，
これが共に 0 となる点は，
$(0,0)$, $(0,\pm1)$, $(\pm1,0)$,
$(\pm1/2,\pm1/2)$ である．(複号は任意の組み合わせを取る．)
また Hesse 行列は
$\dsize\left(\matrix 6xy & 3x^2+3y^2-1 \\
3x^2+3y^2-1 & 6xy\endmatrix \right)$ である．
$(0,0), (0,\pm1),(\pm1,0)$ では
この行列式は負になるのでこれらの点は鞍点である．
$(1/2,1/2)$, $(1/2,-1/2)$, $(-1/2,1/2)$, $(-1/2,-1/2)$
では行列式が正となり，Hesse
行列の1行1列成分は順に正，負，負，正となるので，
これらは順に，極小値，極大値，極大値，極小値となる．
よって答えは，$f(1/2,1/2)=f(-1/2,-1/2)=-1/8$ が極小値，
$f(1/2,-1/2)=f(-1/2,1/2)=1/8$ が極大値である．

\bye