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\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(13)解答解説}
\medskip
\rightline{2009年2月6日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は[1] 10点，[2] 30点，
[3] 30点，[4] 30点 です．
平均点は57.8点，最高点は100点(7人)でした．

この演習の成績は次のようにつけます．演習7回のうち一番悪い1回分を
除いた残りの平均点を $x$ 点として，$0.99x$ を四捨五入したものを
成績とします．(欠席の回は0点とします．) 
前半の問題が易しく，点が高めになったため，
0.99をかけることにしました．また，これによって45点以上50点未満の人は
50点とします．0点の人は不可です．それ以外の45点未満の人は，
期末試験の結果と合わせて総合的に判断します．

これによって総合点の平均点は72.7点，最高点は
98点(1人)となります．この点数分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 4 (人) && 15 && 15 && 35 && 25 && 12 && 0 & \cr
\vsp\t
}}$$

今回の解答例を下につけます．

\bigskip
[1] ある $a > 0$ が存在して，どのような $b >0$ に対しても，
ある実数 $x$ で，$x > b$ かつ $x \le a^2$ となるものが存在する．

特別に惜しいもの以外は部分点はありません．

\bigskip
[2] $x>0$ として，Taylor 展開により，
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+(\cos a) \frac{x^5}{120},\quad 0 < a < x,$$
と
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+(\cos b) \frac{x^4}{24},\quad 0 < b < x,$$
を得る．$x=0.1$ として，第1式より，
$$ 0.09983 < \sin 0.1 < 0.099835,$$
であり，第2式より
$$ 0.995 < \cos 0.1 < 0.995005$$ であるから，
$$ 0.10033 < \tan 0.1 < 0.10034 $$
より，答えは $0.1003$ である．

いきなり，$\tan x$ を Taylor 展開してももちろんできます．
採点基準は，きちんと誤差を上から押さえて満点，
雑な評価で正しい答えになったものは20点，
正しい方針だが雑な評価で答えも少し違うものは10点です．

\bigskip
[3] $s=xy$, $t=y/x^2$ とおくと，$x=s^{1/3} t^{-1/3}$, $y=s^{2/3} t^{1/3}$
より，Jacobi 行列は
$$\frac{1}{3}\left(\matrix
s^{-2/3} t^{-1/3} & -s^{1/3} t^{-4/3} \\
2 s^{-1/3} t^{1/3} & s^{2/3} t^{-2/3} 
\endmatrix\right)$$
となり，Jacobian は $\dfrac{1}{3t}$ となる．これより，
$dx \; dy = \dfrac{ds \;dt}{3t}$ と書けるので，問題の重積分の値は
$$\frac{1}{3}\int_c^d \int_a^b s\;ds\;dt=
\frac{(b^2-a^2)(d-c)}{6}$$ となる．

\bigskip
[4] 普通に極座標に変換して，$dx\;dy=r\;dr\;d\theta$ を用いて，
問題の重積分の値は
$$\int_\alpha^\beta \int_a^b r^3 \cos\theta\sin\theta\;dr\;d\theta=
\frac{(b^4-a^4)(\cos 2\alpha - \cos 2\beta)}{16}$$
となる．

\bye