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\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(12)}
\medskip
\rightline{2009年1月15日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

$\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください．}}$

$\boxed{\text{試験中に話をしているものは
不正行為とみなして答案用紙を取り上げます．}}$

$\boxed{\text{指定された座席についてください．
着席してから試験を開始します．}}$

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[1] 次のそれぞれの関数について極値をすべて求めよ．

(1) $f(x,y)=5x^2+4xy+7y^2$.

(2) $f(x,y)=xy-x^2y-xy^2$.

(3) $f(x,y)=xy+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$,
ただし $x\neq0$, $y\neq0$.

\bigskip
[2] $x^2+xy-y^2=1$ という条件の下で，$f(x,y)=x^2+y^2$ の
取りうる値の範囲を決定せよ．

\bigskip
[3] $x^2+x^4+y^2+y^4=1$ という条件の下で，
$f(x,y)=xy$ の最大値，最小値を求めよ．

\bigskip
[4] 平面上のすべての点 $(x,y)$ で定義された $C^\infty$-関数
$f(x,y)$ で次のすべての条件を満たすものの例を一つ挙げよ．
条件を満たしていることの根拠をきちんと示すこと．

(1) $(x,y)=(0,0)$ で $f(x,y)$ は極大値を取る．

(2) $(x,y)=(1,1)$ で $f(x,y)$ は極小値を取る．

(3) $(x,y)=(0,0), (1,1)$ 以外の点では $f(x,y)$ は極値を取らない．

\bye