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\centerline{2008年度数学I演習小テスト(11)解答解説}
\medskip
\rightline{2008年12月22日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は[1] 20点，[2] 30点，
[3] 30点，[4] 10点$\times 2$ です．
平均点は71.6点，最高点は100点(8人)でした．
解答例を下につけます．

\bigskip
[1] 積分記号下の微分を繰り返すことにより，
$F'(x)=\dsize\int_{-x}^0 2(x+t)f(t)\;dt$,
$F''(x)=\dsize\int_{-x}^0 2f(t)\;dt$,
$F'''(x)=2f(-x)$ を得る．よって，
$F'''(0)=2f(0)$ である．

\bigskip
[2] $x^{2/3}+y^{2/3}=1$ の両辺を $x$ で微分すると，
$\dfrac{2}{3}x^{-1/3}+\dfrac{2}{3}y^{-1/3}y'=0$ となるので，
$y'=-x^{-1/3}y^{1/3}$ である．これより，
$$\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{\frac{x^{2/3}+y^{2/3}}{x^{2/3}}}
=x^{-1/3}$$ となる．これを積分して，求める長さは
$$\int_0^1 x^{-1/3}\;dx=\left[\frac{3}{2}x^{2/3}\right]_0^1
=\frac{3}{2}$$
である．

\bigskip
[3] $x,y$ の条件は $x^2+y^2\le1$ であり．
極座標を使うと，$z$ の条件は $0 \le z \le 1-r^2$
なので，求める体積は
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1 (1-r^2)r\;dr\;d\theta
=2\pi \left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^2}{4}\right]_0^1
=\frac{\pi}{2}$$
となる．

\bigskip
[4] (1) 求める積分を $I$ とおくと，部分積分を2回行って，
$I$ は
$$[e^{-tx}\sin x]_0^\infty+
t\int_0^\infty e^{-tx}\sin x\;dx=
t[-e^{-tx}\cos x]_0^\infty-
t^2\int_0^\infty e^{-tx}\cos x\;dx=t-t^2 I$$
に等しい．これより，
$I=\dfrac{t}{t^2+1}$ である．

(2) (1) の結果を両辺 $t$ で $n$ 階微分を取る．
ここで $t$ が区間 $[a,b]$ を動くとき，
$|x^n e^{-tx} \cos x|\le x^n e^{-ax}$ であり，
$x^n e^{-ax}$ は，$[0,\infty)$ 上で広義積分可能である．
よって，何回でも積分記号下の微分ができて，
$$\int_0^\infty (-x)^n e^{-tx}\cos x\;dx
=\frac{d^n}{dt^n}\left(\frac{t}{1+t^2}\right)$$
である．これより，$0 < t < 1$ における Taylor 展開を
使って
$$\int_0^\infty x^n e^{-tx}\cos x\;dx
=(-1)^n \frac{d^n}{dt^n}(t-t^3+t^5-t^7+\cdots)$$
となる．整級数を項別微分して $t\to0$ とすることにより，
$$\int_0^\infty x^n e^{-tx}\cos x\;dx=
\cases 0,&\quad\text{($n=2m$ のとき)}\\
(-1)^{m+1}(2m+1)!,&\quad\text{($n=2m+1$ のとき)}
\endcases$$
を得る．ただしここで $m$ は整数である．

\bye