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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(11)}
\medskip
\rightline{2008年12月11日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

$\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください．}}$

$\boxed{\text{試験中に話をしているものは
不正行為とみなして答案用紙を取り上げます．}}$

$\boxed{\text{指定された座席についてください．
着席してから試験を開始します．}}$

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[1] $f(x)$ を実数全体で定義された$C^\infty$級関数とし，
$$F(x)=\int_{-x}^0 (x+t)^2 f(t)\;dt$$
とおく．このとき，$F^{(3)}(0)$ を求めよ．

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[2] 曲線 $x^{2/3}+y^{2/3}=1$ の $x\ge0, y\ge0$ の部分の長さを
求めよ．

\bigskip
[3] 次の集合 $X$ の体積を求めよ．
$$X=\{(x,y,z)\mid 0\le z \le 1-x^2-y^2\}.$$

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[4] (1) $t$ を正の実数としたとき，
$\dsize\int_0^\infty  e^{-tx}\cos x\;dx$ を求めよ．

(2) $n$ を自然数としたとき，
$$\lim_{t\to0+}\int_0^\infty x^n e^{-tx} \cos x \;dx$$ を求めよ．

\bye