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\centerline{2008年度数学I演習小テスト(10)解答解説}
\medskip
\rightline{2008年12月15日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は[1] 15点$\times 3$,
[2] 10点$\times 2$,
[3] 10点$\times 2$,
[4] 15点です．
平均点は55.3点，最高点は100点(2人)でした．
解答例を下につけます．

\bigskip
[1] (1) 求める積分は
$$\int_0^1\int_0^{2-2x} xy \;dx\;dy$$
に等しい．内側の積分を実行すると
$x[y^2/2]^{2-2x}_0=2(x-2x^2+x^3)$ となるので，
外側の積分をさらに実行すると答えは
$$2\int_0^1(x-2x^2+x^3)\;dx=2\left[\frac{x^2}{2}
\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac{1}{6}$$
である．

(2) $x,y$ の積分の順序を入れ替えると，問題の積分は
$$\int_0^1\int_0^x e^{x^2}y^2\;dy\;dx$$
となる．内側の積分を実行すると．
$x^3 e^{x^2}/3$ となるので，外側の積分を実行すると，
$x^2=t$ と置換することにより，
$$\int_0^1 \frac{x^3}{3}e^{x^2}\;dx=
\frac{1}{6}\int_0^1 te^t\;dt$$ となる．
さらに部分積分することにより，これは
$$\frac{1}{6}[te^t]_0^1-\frac{1}{6}\int_0^1e^t\;dt
=\frac{e}{6}-\frac{e}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$$
に等しい．

(3) 問題の積分は
$$\int_0^1 \sqrt{x}\int_{-\sqrt{x-x^2}}^{\sqrt{x-x^2}}
\;dy\;dx$$ に等しい．内側の積分を実行すると，
$$2x\sqrt{1-x}=2((1-x)^{1/2}-(1-x)^{3/2})$$
に等しいので，外側の積分を実行すると，
$$2\left[-\frac{2}{3}(1-x)^{3/2}+
\frac{2}{5}(1-x)^{5/2}\right]_0^1=\frac{8}{15}$$
が答えである．

\bigskip
[2] (1) 問題の積分は
$$\int_0^1\int_0^{1-x}\frac{dy\;dx}{(x+y)^{3/2}}$$
に等しい．内側の積分を実行すると，
$$\left[-2(x+y)^{-1/2}\right]_0^{1-x}
=-2+2x^{-1/2}$$である．
さらに外側の積分を実行すると，
$$\int_0^1(-2+2x^{-1/2})\;dx=[-2x+4x^{1/2}]_0^1=2$$
に等しく，これが答えである．

(2) 問題の積分は
$$\int_0^1\int_0^y\frac{dx\;dy}{\sqrt{y-x}}$$
に等しい．内側の積分を実行すると，
$$\left[-2(y-x)^{1/2}\right]_0^y
=2y^{1/2}$$である．さらに外側の積分を実行すると，
$$\int_0^12y^{1/2}\;dy=\left[\frac{4}{3}y^{3/2}\right]_0^1
=\frac{4}{3}$$である．

\bigskip
[3] (1) 極座標を使うと，問題の積分は
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1\frac{r\;dr\;d\theta}{r^{2\alpha}}
=2\pi \int_0^1\frac{dr}{r^{2\alpha-1}}$$
となるので，答えは$2\alpha-1 < 1$, すなわち
$\alpha < 1$ である．

(2) 極座標を使うと，問題の積分は
$$\int_0^{2\pi}\int_1^\infty
\frac{r^3\cos^2\theta\;dr\;d\theta}{r^{2\alpha}}
=\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\;d\theta
\int_1^\infty \frac{dr}{r^{2\alpha-3}}$$
である．$\dsize\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\;d\theta$ は
ゼロでない実数なので，答えは
$2\alpha-3 > 1$, すなわち $\alpha > 2$ である．

\bigskip
[4] 問題の式を$n!$ で割ったものが，
$n+1$ 回微分すると $e^x$ に等しく，かつ
$n$ 階以下の微分がすべて $x=0$ で $0$ となる関数である．
この関数はすなわち
$$e^x-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$$ なので，求める答えは
$$n!\left(e^x-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right)$$ 
である．

\bye