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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(10)}
\medskip
\rightline{2008年12月8日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

$\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください．}}$

$\boxed{\text{試験中に話をしているものは
不正行為とみなして答案用紙を取り上げます．}}$

$\boxed{\text{指定された座席についてください．
着席してから試験を開始します．}}$

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[1] 次の重積分の値を求めよ．

(1) $\dsize\int_D xy\;dx\;dy,\quad D=\{(x,y)\mid x\ge 0, y\ge0, 2x+y\le 2\}$.

(2) $\dsize\int_0^1 \int_y^1 e^{x^2} y^2 \;dx\;dy.$

(3) $\dsize\int_D \sqrt{x}\;dx\;dy,
\quad D=\{(x,y)\mid x^2+y^2 \le x\}$.

\bigskip
[2] 次の広義積分の値を求めよ．

(1) $\dsize\int_D \frac{dx\;dy}{(x+y)^{3/2}},\quad
D=\{(x,y)\mid x\ge0, y\ge0, x+y\le1\}$.

(2) $\dsize\int_0^1\int_0^y \frac{dx}{\sqrt{y-x}}\;dy$

\bigskip
[3] 次のそれぞれの広義積分が存在するような実数 $\alpha$ の範囲を
求めよ．

(1) $\dsize\int_D \frac{dx\;dy}{(x^2+y^2)^\alpha},
\quad D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}$.

(2) $\dsize\int_D \frac{x^2}{(x^2+y^2)^\alpha}\;dx\;dy,
\quad D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\ge1\}$.

\bigskip
[4] $\dsize\int_0^x (x-t)^n e^t\;dt$ を求めよ．ただし，$n$ は自然数である．

\bye