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\centerline{2008年度数学I演習小テスト(9)解答解説}
\medskip
\rightline{2008年11月17日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は[1] 15点$\times 3$,
[2] 15点$\times 3$, [3] 10点です．
平均点は78.8点，最高点は100点(12人)でした．
解答例は次のとおりです．

\bigskip
[1] (1) $$\aligned
\int_t^1 \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x}}\;dx
&=\int_t^1 \left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)\;dx\\
&=[2\sqrt{x}-2\sqrt{x+1}]_t^1\\
&=2-2\sqrt{2}-2\sqrt{t}+2\sqrt{t+1}
\endaligned$$
において，$t\to0$ とすればよいので答えは$4-2\sqrt{2}$である．

(2) $$\dsize\int_0^\infty e^{-x} x^{5/2}\;dx=\Gamma(7/2)=
\frac{5\cdot 3\cdot1}{2\cdot2\cdot2}\Gamma(1/2)=\frac{15\sqrt{\pi}}{8}$$
である．

(3) 部分積分により，
$$\aligned
\int_0^t e^{-x} \cos{2x}\;dx&=[-e^{-x}\cos 2x]^t_0
-2\int_0^t e^{-x} \sin{2x}\;dx\\
&=-e^{-t}\cos 2t+1-2[-e^{-x}\sin 2x]^t_0-4\int_0^t e^{-x}\cos 2x\;dx\\
&=-e^{-t}\cos 2t+1+2e^{-t}\sin 2t-4\int_0^t e^{-x}\cos 2x\;dx
\endaligned$$
であるから，
$$\int_0^t e^{-x} \cos{2x}\;dx=(-e^{-t}\cos 2t+1+2e^{-t}\sin 2t)/5$$
である．$t\to\infty$ として，答えは $1/5$ である．

\bigskip
[2] (1) $\alpha=0$ のときは $e^{\alpha x}=1$ なので明らかに問題の
広義積分は存在しない．その他のときは，
$\dsize\int_0^t e^{\alpha x}\;dx=[e^{\alpha x}/\alpha]_0^t$
なので，$\alpha > 0$ であれば，$t\to\infty$ の極限は存在せず，
$\alpha < 0$ であれば，$t\to\infty$ の極限は存在する．よって答えは
$\alpha < 0$ である．

(2) $\alpha > 1$ であれば，$t > 1$ のとき，
$$\aligned \int_0^t \frac{x}{(x^2+1)^\alpha}\;dx&=
\int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^\alpha}\;dx+
\int_1^t \frac{x}{(x^2+1)^\alpha}\;dx\\
&\le \int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^\alpha}\;dx+
\int_1^t \frac{1}{x^{2\alpha-1}}\;dx\endaligned$$ で，
$2\alpha-1 > 1$ であるので，
広義積分 $\dsize\int_1^\infty \frac{1}{x^{2\alpha-1}}\;dx$ 
が存在することを授業で示したことと，Weierstrass
の $M$ テストにより，問題の広義積分は存在する．

$\alpha \le 1$ であれば，$t > 1$ のとき，
$$\aligned \int_0^t \frac{x}{(x^2+1)^\alpha}\;dx&\ge
\int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^\alpha}\;dx+
\int_1^t \frac{x}{(2x^2)^\alpha}\;dx\\
&\le \int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^\alpha}\;dx+
\int_1^t \frac{1}{2^\alpha x^{2\alpha-1}}\;dx\endaligned$$ で，
$t\to\infty$ のとき，
$\dsize\int_1^t \frac{1}{x^{2\alpha-1}}\;dx\to\infty$ であること
より，問題の広義積分は存在しない．よって，答えは，$\alpha > 1$ である．

(3) $\log x =y$ と置換積分することにより，
$$\dsize\int_2^t \frac{dx}{x(\log x)^\alpha}=
\dsize\int_{\log 2}^{\log t} \frac{dy}{y^\alpha}$$である．
$t\to\infty$ と $\log t\to\infty$ は同じことだから．授業でやったこと
より，この広義積分が存在する条件は $\alpha > 1$ である．

\bigskip
[3] $x > 0$ のとき，次のように $f(x)$ を定める．
$$f(x)=\cases \dfrac{1}{\sqrt{x}},&\text{$0 < x < 1$ のとき},\\
2-x,&\text{$1 \le x \le 2$ のとき},\\
0,&\text{$x > 2$ のとき．}\endcases$$
この関数 $f(x)$ は明らかに0以上の値を取る連続関数である．
$x\ge2$ ではこの関数は 0 なので，
広義積分 $\dsize\int_0^\infty f(x)\;dx$, 
$\dsize\int_0^\infty f(x)^2 \;dx$ を考えるには区間 $(0,1)$ で
考えてよい．すると，広義積分 
$\dsize\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\;dx$ は
存在するが，広義積分 $\dsize\int_0^1 \frac{1}{(\sqrt{x})^2}\;dx$ は
存在しないので，確かに問題の条件を満たしている．

\bigskip
[2] (2) では，具体的に積分の値が求まるので計算してしまっても
かまいません．

\bye