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\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(9)}
\medskip
\rightline{2008年11月6日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

$\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください．}}$

$\boxed{\text{試験中に話をしているものは
不正行為とみなして答案用紙を取り上げます．}}$

\bigskip
[1] 次の広義積分の値を求めよ．

(1) $\dsize\int_0^1 \dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x}}\;dx$.

(2) $\dsize\int_0^\infty e^{-x} x^{5/2}\;dx$.

(3) $\dsize\int_0^\infty e^{-x} \cos{2x}\;dx$.


\bigskip
[2] 次のそれぞれ広義積分の値が存在するための，実数 $\alpha$ の
条件を求めよ．

(1) $\dsize\int_0^\infty e^{\alpha x}\;dx$.

(2) $\dsize\int_0^\infty \frac{x}{(x^2+1)^\alpha}\;dx$.

(3) $\dsize\int_2^\infty \frac{dx}{x(\log x)^\alpha}.$

\bigskip
[3] $ 0 < x < \infty$ で定義された連続関数 $f(x)$ であって，
次のすべての条件を満たすものの例をあげよ．条件を満たしている
ことをきちんと説明すること．

(1) $ 0 < x < \infty$ のとき $f(x)\ge0$.

(2) 広義積分 $\dsize\int_0^\infty f(x)\;dx$ の値は存在する．

(3) 広義積分 $\dsize\int_0^\infty f(x)^2 \;dx$ の値は存在しない．

\bye