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\documentstyle{amsppt}

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\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(8)}
\medskip
\rightline{2008年10月27日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

$\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください．}}$

$\boxed{\text{試験中に話をしているものは
不正行為とみなして答案用紙を取り上げます．}}$

\bigskip
[1] 次のそれぞれの整級数の収束半径を求めよ．

(1) $\dsize\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n^2+1}x^n$.

(2) $\dsize\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \log n}x^n$.

(3) $\dsize\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}$.

\bigskip
[2] 次のそれぞれの関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで Taylor
展開せよ．さらにその整級数の収束半径を求めよ．

(1) $f(x)=\sqrt{1+3x}$.

(2) $f(x)=\log(1+x^2)$.

(3) $f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^3}+\dfrac{1}{(1+x)^3}$.

\bigskip
[3] 整級数 $\dsize\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ で次の条件を
両方満たすものの例をあげよ．条件を満たしていることを
きちんと説明すること．

(1) 収束半径は $1$ である．

(2) $x=\pm1$ のいずれでも収束する．

\bye