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\begin{document}

\centerline{2008年度数学I}
\medskip
\rightline{2008年4月14日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

{\bf 集合の記号について}

$A=\{x\mid x\text{は実数}\}$ などと書く．
$A=\{x: x\text{は実数}\}$ とも書く．
集合 $A$ が集合 $B$ の部分集合であることを $A\subset B$と書く．
$A=B$ である場合も排除されていない．また空集合は $\varnothing$ と
書く．$x\in A$ となる $x$ を集合 $A$ の元，または要素と言う．

\medskip

{\bf 数の集合について}

$\mathbb N$ は自然数全体の集合を表す．
0から始めることも1から始めることもある．
さらに，$\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$ , $\mathbb C$ はそれぞれ
整数全体の集合，有理数全体の集合，実数全体の集合，複素数全体の集合を
表す．

\medskip
{\bf 論理記号について}

$\forall x\; \cdots$, $\exists x\;\cdots$ は
それぞれ，「すべての$x$について・・・がなりたつ」，
「・・・であるような $x$ が存在する」という意味である．後者は
(日本語としては不自然だが)「$x$が存在して・・・を満たす」とも読む．
$\forall x>0\; \cdots$ や，$\forall x\in A\; \cdots$ はそれぞれ，
「正であるようなすべての $x$ について・・・が成り立つ」，
「$A$ の元であるようなすべての $x$ について・・・が成り立つ」という
意味である．同様に，
$\exists x>0\; \cdots$ や，$\exists x\in A\; \cdots$ とも書く．

たとえば$\forall x\in\mathbb R\; \exists y\in\mathbb R\; x+y=0$
は，任意の実数 $x$ に対し，「$x+y=0$ となるような実数 $y$ が
存在する」という真の命題を表し，
$\exists y\in\mathbb R\; \forall x\in\mathbb R\; x+y=0$
は，「任意の実数 $x$ に対し $x+y=0$ となる」ような実数 $y$ が
存在する，という偽の命題を表す．

\medskip
{\bf 命題と否定について}

$\forall x\in\mathbb R\; \exists y\in\mathbb R\; x+y=0$
の否定命題は
$\exists x\in\mathbb R\; \forall y\in\mathbb R\; x+y\neq0$
であり，
$\exists y\in\mathbb R\; \forall x\in\mathbb R\; x+y=0$
の否定命題は
$\forall y\in\mathbb R\; \exists x\in\mathbb R\;  x+y\neq0$
である．

\medskip
{\bf 「ならば」について}

命題 $P, Q$ に対し，
$P \land Q$ と
$P \lor Q$ は，それぞれ「$P$ かつ $Q$」，「$P$ または $Q$」を表す．
$P \Rightarrow Q$ は，「$P$ ならば $Q$」を表すが，これは
「$P$ でないか，または $Q$ である」と同じことである．

\medskip
{\bf その他}

$x\leq y$ は，$x$ が $y$ 以下であることを表す．下の横線を斜めに書いても，
$x\leqq y$ と書いても同じことである．

\end{document}