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\centerline{2008年度数学I演習小テスト(7)解説}
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\rightline{2008年10月20日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は，[1] (1) 15点 (2) 15点 (3) 10点，
[2] (1) 15点 (2) 15点 (3) 15点，[3] 15点です．
最高点は100点(53人)，平均点は89.3点でした．

解答例を示します．

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[1] (1) $\dsize\int_1^n \frac{dx}{x^2}$ を，$[1,2]$, $[2,3]$, \dots, $[n-1,n]$
の区間ごとに分け，それぞれの区間で $1/x^2$ を区間の右端の値で置き換えると，
$1/x^2$ が減少関数であることより，積分の値は小さくなる．これによって，
$\dsize\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2}$ が積分の値以下となる．両辺に1を加えて，
問題の不等式$\dsize\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}  \le
1+\int_1^n \frac{dx}{x^2}$を得る．

(2) (1)の不等式より，$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\le
1+\int_1^n \frac{dx}{x^2}=2-\frac{1}{n}<2$$ となる．
$\dsize\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ は単調増大なので，
$n\to\infty$ のときこの和は収束する．

(3) (2)より，各項に絶対値をつけたものが収束しているので，10/6の授業でやった
定理より $\dsize\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2}$ も収束する．

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[2] (1) $x\neq2$ とすると，$\dsize\sum_{n=0}^k \frac{x^n}{2^n}
=\frac{1-(x/2)^{k+1}}{1-x/2}$ である．よって，これは $|x/2|<1$ のとき
収束し，$|x/2|>1$ のとき収束しない．したがって，収束半径は$2$である．

(2) これは $\sin x$ の Taylor 展開であり，すべての $x$ について
収束することがわかっている．よって収束半径は $\infty$ である．

(3) $x\ge 0$ とする．
$$\sum_{n=0}^k \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\le\sum_{n=0}^{2k+1} \frac{x^{n}}{n!} \le e^x$$
である．$\dsize\sum_{n=0}^k \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ は $k$ について
単調増大なので，無限級数 $\dsize\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
は収束する． $x<0$ のときは，
$$\sum_{n=0}^k \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
=\sum_{n=0}^k -\frac{(-x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ なので，やはりこの
無限級数も収束する．よって，すべての $x$ についての収束がわかった
ので，収束半径は $\infty$ である．

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[3] $\dsize\sum_{n=0}^\infty (n!)^2{x^n}$ を考える．0でないすべての
$x$ について，$n\to\infty$ のとき $(n!)^2{x^n}\to\infty$ であるので，
この無限級数は収束しない．よって，この整級数の収束半径は $0$ である．

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(注意)
[1] (1) で不等式に等号がついているのは，$n=1$ でも大丈夫なようにするためです．

[3] は他にもいくらでも例はあります．たとえば，
$\dsize\sum_{n=0}^\infty n^n{x^n}$ という答案も多くありました．

\bye