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\define\Z{\bold Z}
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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(7)}
\medskip
\rightline{2008年10月9日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

$\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください．}}$

$\boxed{\text{試験中に話をしているものは
不正行為とみなして答案用紙を取り上げます．}}$

\bigskip
[1] (1) 次の不等式を示せ．ただし $n$ は自然数である．
$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}  \le
1+\int_1^n \frac{dx}{x^2}.$$

(2) $\dsize\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ は収束することを示せ．

(3) $\dsize\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2}$ は収束することを示せ．

\bigskip
[2] 次のそれぞれの整級数の収束半径を求めよ．

(1) $\dsize\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^n}$.

(2) $\dsize\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$.

(3) $\dsize\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$.

\bigskip
[3] 収束半径が0の整級数の例を，
$\dsize\sum_{n=0}^\infty n!{x^n}$ 以外にあげよ．

\bye