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\documentstyle{amsppt}

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\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I期末テスト解説}
\medskip
\rightline{2008年9月5日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は順に，25, 30, 30, 30, 30点の145点満点です．
平均点は65.3点，最高点は100点(10人)でした．
この点数(100点で頭打ち)が赤で答案の
上に書いてあります．ただし演習の成績がよかった人で，
期末試験が悪かった場合は，プラスアルファがついています．
これはすべて，50点に少し足りないものを50点にしたケースです．
たとえば，$45+5$ とは，もともと期末試験は45点だったが，
このプラスアルファで5点ついて50点になったと言う意味です．
返却する答案はコピーがとってあります．
この点数の分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 15  (人) && 33 && 8 && 14 && 16 && 8  && 10 & \cr
\vsp\t
}}$$

演習の成績は7/14に説明したものでは他の先生に比べ甘すぎることが
わかりましたので，たいへんすみませんが，次のように変更します．
演習6回のうち一番悪い1回分を
除いた平均点を $x$ とします．(欠席の回は0点とします．)
$0.8x+21$ を四捨五入し，さらに100点を超えた場合は100点で頭打ち
にしたものを成績とします．ただしこれによってぎりぎり50点を割る人で
きちんと出席していた2人は50点とします．
これによって，平均点は73.4点，最高点は
100点(1人)，不可なのは半分以上欠席の一人だけとなります．
こちらの点数が青で答案の
上に書いてあります．こちらについても期末試験成績に
よるプラスアルファを検討しましたが，当てはまる人は
いませんでした．この点数の分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 1 (人) && 9 && 26 && 33 && 30 && 5 && 1 & \cr
\vsp\t
}}$$

以下，各問の解説です．

\bigskip
[1] 答えは次のとおりです．
「ある $\varepsilon > 0$が存在して，どのような $\delta > 0$ に対しても
実数 $x,y$ で，$|x-y| < \delta$ だが $|f(x)-f(y)|\ge\varepsilon$ となる
ものが存在する．」

できはよくありませんでした．授業でも言ったとおり，これがきちんとできないと
数学の論理は何もわかりません．間違えた人は必ず，よく復習してください．

「どのような $\delta > 0$ に対しても・・・であるような
$\varepsilon > 0$が存在する」というのは，$\delta$
ごとに一つずつの $\varepsilon$ があるのか，すべての$\delta$
に共通の $\varepsilon$ があるのかよくわからないので認められません．

「ある $\varepsilon \le 0\cdots$」になっている人が何人かいましたが，
後ろについている $>0$ は $\varepsilon$ の条件なのでこは否定に
変わりません．

\bigskip
[2] $e^x$ の Taylor 展開に，$x=1/4$ を代入します．$x=1/4$ として，
ある $0<\theta<1$ に対し，
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+e^{\theta x}\frac{x^4}{24}$$
となります．最初の4項の和はすぐ計算できて，
$1.28385416666\cdots$ ($6$が無限に続く)です．
最後の項は正で，その値は $2^{10}>1000$
と $e^{\theta x}<2$ によって，
$e^{\theta x}/6000<1/3000$ で上から抑えられます．よって，
$e^{1/4}$ は，$1.2838$ 以上，$1.2842$ 以下ということになり，
四捨五入した答えは $1.284$ です．(正しい値は，
$1.284025\cdots$ です．)

\bigskip
[3] 似た式を探すと，
$(1+x)^{1/2}$ の $x=0$ のまわりでの Taylor 展開は
$1+\dsize\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^n n!}x^n$
となっています．(ただし，$(-1)!!=1$ とします．) これと問題の
式を比べると，偶数次の係数は合っていますが，奇数次の係数が
問題では0となっていて食い違っています．奇数次の係数を
消すには，$(1-x)^{1/2}$ と足して $2$ で割ればいいので，
$(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})/2$ が答えの一つです．
(他にも無限に答えはありますが，「自然」なものはこれだけです．)

これは一人しかできていませんでした．

\bigskip
[4] $\dfrac{e^{s^2+t^2-3s-3t}}{s^2+t^2+2s+2t+3}$ を $s$ で
偏微分して，$(s,t)=(0,0)$ としたときの値を $a$ とおきます．
式の形が対称なので，同じものを $t$ で
偏微分して，$(s,t)=(0,0)$ としたときの値も $a$ です．
すると，Jacobian を計算するために必要な $2\times2$-行列
は，$\left(\matrix
1+a & a\\
-a & 1-a
\endmatrix\right)$ の形になります．この行列式を求めると
答えは $1$ です．実際は $a=-11/9$ で，すべての人がこの値を
求めていて，間違っている人も何人かいましたが，
これを計算する必要はありません．

\bigskip
[5] 1回微分すると授業でやったとおり，
$$ u'(t)\frac{\partial}{\partial x}f(u(t),v(t))+
v'(t)\frac{\partial}{\partial y}f(u(t),v(t))$$
です．これをもう1回微分すると，積の微分と，この公式を
もう一度使って，答えは
$$
\align
&u''(t)\frac{\partial}{\partial x}f(u(t),v(t))+
 v''(t)\frac{\partial}{\partial y}f(u(t),v(t))+
 (u'(t))^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(u(t),v(t))\\
+& 2u'(t)v'(t)\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(u(t),v(t))+
 (v'(t))^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(u(t),v(t))\endalign$$
となります．

右辺のうち2項足りない人がたくさんいました．
一般論がわかりにくければ，
具体的に簡単な多項式を代入して考えてみることもできます．
たとえば，$f(x,y)=x^2y$, $u(t)=t^2$, $v(t)=2t^2$ などです．
\bye