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\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I期末テスト}
\medskip
\rightline{2008年9月1日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．
電卓等は使用禁止です．

\bigskip [1] 実数上で定義された実数値関数 $f(x)$ についての
次の命題を否定した命題を日本語で書け．$\forall, \exists$
などの記号は使わないこと．
ただし，$\bold R$ は実数全体の集合を表す．

$$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \;
\forall x\in \R\; \forall y \in \R\; (\;|x-y| < \delta \Rightarrow
|f(x)-f(y)| < \epsilon\;)$$

\medskip [2]  $\sqrt{\sqrt{e}}$ を四捨五入で小数点以下3桁まで求めよ．
($e$ は自然対数の底である．
小数点以下4桁目を四捨五入して，3桁までにすると言う意味である．
答えの数値が正しいことの根拠をきちんと示すこと．)

\medskip [3]  開区間 $(-1,1)$ でで定義された
$C^\infty$ 級関数 $f(x)$ を $x=0$ のまわりで Taylor
展開したところ $$1-\sum_{n=1}^\infty \frac{(4n-3)!!}{2^{2n}(2n)!}x^{2n}$$
となった．このような関数 $f(x)$ を一つ求めよ．
(関数は一つ求めればよいが，それが本当に
条件を満たしていることの根拠をきちんと示すこと．)

\medskip [4] 実数 $s, t$ に対して定義された関数
$$\phi(s,t)=\sin s \cos t + \frac{e^{s^2+t^2-3s-3t}}{s^2+t^2+2s+2t+3},$$
$$\psi(s,t)=\sin t \cos s - \frac{e^{s^2+t^2-3s-3t}}{s^2+t^2+2s+2t+3},$$
を考える．これらの関数の
$(s,t)=(0,0)$ における Jacobian (ヤコビアン)を求めよ．

\medskip [5]
$f(x,y)$, $u(t)$, $v(t)$ をいずれも $C^\infty$ 級の関数とする．
(関数はすべて実数値であり，$x,y,t$ は実数である．)
このとき，$f(u(t),v(t))$ を $t$ で2回微分した関数を求めよ．

\bye