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\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(6)}
\medskip
\rightline{2008年7月7日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

$\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください．}}$

$\boxed{\text{試験中に話をしているものは
不正行為とみなして答案用紙を取り上げます．}}$

試験時間は$\boxed{\text{80分}}$です．その後授業評価アンケートを行います．

\bigskip [1] 次の各命題を否定した命題を日本語で書け．$\forall, \exists$
などの記号は使わないこと．
ただし，$\bold R$ は実数全体の集合，$\bold N$ は自然数全体の
集合を表す．

(1) $\forall a>0\;\forall b>0\; \exists N\in\bold N\; Na > b$.

(2) $\forall x\in \bold R\;\forall n\in\bold N\;
\exists y\in\bold R\; y^{2n+1}=x$.

(3) $\forall \varepsilon > 0 \;\exists \delta > 0\; \forall x\in
\bold R \; |x-a| < \delta \Rightarrow
|f(x)-f(a)| < \varepsilon$.

\medskip [2]  $\sin x^2$ を $x=0$ において Taylor 展開して得られる無限級数
を求めよ．($\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ の形の無限級数を具体的に
書くことを求めている．それが収束するか，また $\sin x^2$ に等しくなるかを
聞いているのではない．)

\medskip [3] 
$y(0)=\dfrac{1}{\sqrt2}$ であり，$-1 < x < 1$ で
$y'=y^3$ を満たす関数を一つ求めよ．

\medskip 
[4] $(0,0)$ 以外の点で $f(x,y)=\log(x^2+y^2)$ を考える．
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$,
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$,
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$,
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を求めよ．

\bye