\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(5)解説}
\medskip
\rightline{2008年7月14日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

平均点は44.5点，最高点は85点(2人)でした．各問の解説をつけます．

\bigskip

[1] 各5点です．$f(x)=e^{x^2-y^2}\cos(2xy)$ に対し，
$$\align\frac{\partial f}{\partial x}&=
2xe^{x^2-y^2}\cos(2xy)-2ye^{x^2-y^2}\sin(2xy),\\
\frac{\partial f}{\partial y}&=
-2ye^{x^2-y^2}\cos(2xy)-2xe^{x^2-y^2}\sin(2xy),\\
\frac{\partial^2f}{\partial x^2}&=
(2+4x^2-4y^2)e^{x^2-y^2}\cos(2xy)-8xye^{x^2-y^2}\sin(2xy),\\
\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}&=
\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=
-8xye^{x^2-y^2}\cos(2xy)+(-4x^2+4y^2-2)e^{x^2-y^2}\sin(2xy),\\
\frac{\partial^2f}{\partial y^2}&=
(-2-4x^2+4y^2)e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+8xye^{x^2-y^2}\sin(2xy)\endalign$$
となります．

\medskip
[2] 25点です．$\log(1+t(x+y))$ を $t$ について Taylor 展開してから
$t=1$ とおきます．
$$\log(1+x+y)=x+y-\frac{(x+y)^2}{2}+
\frac{(x+y)^3}{3}-\frac{(x+y)^4}{4(1+\theta(x+y))^4},$$
で，$0<\theta<1$ となります．

\medskip
[3] 25点です．
$\dsize\int f(x,t)\;dt=F(x,t)$ なので，
$\dsize\int_x^{2x} f(x,t)\;dt=F(x,2x)-F(x,x)$ となります．
合成関数の微分公式よりこれを微分して
$g(x,2x)+2f(x,2x)-g(x,x)-f(x,x)$ となります．

\medskip
[4] (1) 5点です．
$x=r\cos \theta$, $y=r\sin\theta$ と書くことにより，
答えは $m+n\ge 3$ です．

(2) 10点です．
やはり極座標で書いて，
$$r^{m+n-2}\cos^n\theta\sin^m\theta=
Ar\cos\theta+Br\sin\theta+r\varepsilon(r\cos\theta,r\sin\theta),$$
の形で $\dsize\lim_{r\to0}\varepsilon(r\cos\theta,r\sin\theta)=0$
になっている必要があります．(後の式で $\theta$ は一定でありません．)
(1)より $m+n\ge 3$ でなくてはならないので，両辺を $r$ で割って，
$m+n=3$ では不可能なことがわかります．$m+n\ge 4$ のときは，
$A=B=0$ がわかり，このときは，O.K.です．よって答えは
$m+n\ge 4$ です．

(3) 5点です．
$f(x,0)$ だけを見て微分を考えることにより
答えは $m\ge1$ または，($n\ge3$ かつ $m=0$) です．

(4) 10点です．
まず
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)=\cases
0,&\quad \text{$m\ge1$ または ($n\ge4$ かつ $m=0$)の時},\\
1,&\quad \text{$n=3$, $m=0$の時},\\
\text{存在しない},&\quad\text{その他の時},
\endcases$$
であり，また $y\neq0$ のとき
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)=\cases
0,&\quad \text{$n\ge2$ または $n=0$ の時},\\
y^{m-2},&\quad \text{$n=1$の時},
\endcases$$
なので，
$$\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0, 0)=\cases
\text{存在しない},
&\text{($n\le3$かつ$m=0$) または ($n=1$ かつ $m\le2$)の時},\\
1,&\text{$n=1$, $m=3$の時},\\
0,&\text{その他の時},
\endcases$$
となります．$x$ と $y$ および $n$ と $m$ を入れえても同様なので，答えは
($n\le1$ かつ $m\ge 4$) または
($m\le1$ かつ $n\ge 4$) または
($n\ge2$ かつ $m\ge 2$) です．

\bye