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\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(5)}
\medskip
\rightline{2008年7月3日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

$\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください．}}$

$\boxed{\text{試験中に話をしているものは
不正行為とみなして答案用紙を取り上げます．}}$

\bigskip
[1] $f(x,y)=e^{x^2-y^2} \cos (2xy)$ とおく．
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$,
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$,
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$,
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を求めよ．

\medskip
[2] $\log(1+x+y)$ を $(x,y)=(0,0)$ の周りで3次の項まで
Taylor 展開した式を剰余項付きで求めよ．

\medskip
[3] $F(x,y)$ はすべての点で微分可能で，
$\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)=g(x,y)$,
$\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y)=f(x,y)$,
また $f(x,y)$, $g(x,y)$ はすべての点で連続とする．
このとき，
$\dsize\frac{d}{dx}\int_x^{2x} f(x,t)\;dt$ を，
$f,g$ を使って表せ．

\medskip
[4] $m,n$ を0以上の整数とする．
$$f(x,y)=\cases
\dfrac{x^ny^m}{x^2+y^2},&\quad \text{$(x,y)\neq(0,0)$のとき},\\
0,&\quad \text{$(x,y)=(0,0)$のとき},
\endcases$$
とする．ただし，$0^0=1$ と定める．

(1) $f$ が $(0,0)$ で連続となるための必要十分条件を
$m, n$ を使って表せ．

(2) $f$ が $(0,0)$ で微分可能となるための必要十分条件を
$m, n$ を使って表せ．

(3) $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ が存在するための
必要十分条件を $m, n$ を使って表せ．

(4) $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)$
と $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)$
がともに存在して等しくなるための
必要十分条件を $m, n$ を使って表せ．

\bye