Twisted Longo-Rehren subfactors

河東泰之 (東大・数理)

             e-mail: yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp

2000 年 6 月 5 日

Longo-Rehren は， M 上の有限個の morphism の system{λ_{i}} から， subfactor M ⊗ M^{op} ⊂ R を作る方法を与えた．これを Longo-Rehren subfactor という．ここで， R-R morphism の system を見ると，元の system の “quantum double” になるということが多くの人によって研究されている．特に， R-R morphism の system は，非退化な braiding を持つことがわかっている． ([2] およびそこでの引用文献を参照のこと． ) そこで，もとから system {λ_{i}} が非退化な braiding を持つ場合に何が起こるかを考えてみると， R-R morphism の system はもとの system を単に 2 重に水増ししたものであることがわかっている．このことから，このような場合の Longo-Rehren subfactor は一回 basic construction を行って， dual に移ってもやはり， Longo-Rehren subfactor なのではないかと考えられるが，泉 [2] は，そうではなく，ある種の “twist” の効果が現れることを発見した．このことは，「もともと非退化な braiding があるとき， Longo-Rehren subfactor の dual は， twisted Longo-Rehren subfactor である」と言い表せる．

一方， Longo-Rehren によって定義され， Xu, Böckenhauer-Evans によって詳しく調べられた α-induction の理論が， Longo-Rehren subfactor の研究とよく似ていることも， [2] で明らかになった．そこで我々は， [1] で α-induction と Longo-Rehren subfactor の関係について調べた．まず設定を述べよう． (詳しくは， [1] とそこでの引用文献を見ていただきたい．ここでは簡略に述べる． ) N ⊂ M を subfactor とし， N-N morphism の system が braiding を持つとする．このとき， system の endomorphism λ は， braiding を用いて， M の endomorphism α_{λ}^{±} にいっせいに延長される．ここで ± は braiding の choice を表す．この α_{λ}^{±} の既約分解から生成される M-M morphism の system を考える．今 braiding は非退化としよう． [1] の中に次の結果がある．

この M-M system からできる quantum double system は，もとの N-N system の単なる “double” と同型であり， canonical endomorphism はこの同型で ∑ Z_{λμ}λ ⊗ μ^{op} に移る．

ここで， Z_{λμ} = ⟨α_{λ}^{+}, α_{μ}^{−}⟩ である．一方最近， Rehren [3] は， generalized Longo-Rehren subfactor の構成を行った．彼は一般に endomorphism の system がいっせいに延長される状況を考えているが，延長が α-induction のときは彼の定理は次のように与えられる．

上のような α-induction に対し， ∑ Z_{λμ}λ ⊗ μ^{op} は N ⊗ N^{op} 上の dual canonical endomorphism である．

また，そこで Rehren が実際に構成した subfactor を generalized Longo-Rehren subfactor という．

このことと，上の twisted Longo-Rehren subfactor の現れ方を見ると， α-induction で生じた M-M system から Longo-Rehren subfactor を作って dual に移行すると， “twisted generalized Longo-Rehren subfactor” ができているのではないか，と考えられる．今回は計算によってそのとおりであることを確認した．

そこで， M-M system から twised Longo-Rehren subfactor を作って dual に移行すれば twist のない generalized Longo-Rehren subfactor になると考えたくなるが， M-M system は一般に braided でないので， twist させることができない．そこで別のことを考えてみよう．

いい状況では， subfactor の同型類に注目すれば， twisted Longo-Rehren subfactor も普通の Longo-Rehren subfactor も同型であることが示せると思われる．たとえば， system が， S^{1} 上の completely rational net から生じているときは確かにそうであることが， Kawahigashi-Longo-Müger によって示されているし，一般の非退化な braided system の場合も paragroup が同じであることが示せるであろう．このことと，上のことを合わせると， generalized Longo-Rehren subfactor でも subfactor の同型類に注目すれば “twist” の効果が消えるのではないかと考えられる． Chiral locality を満たす場合には， generalized Longo-Rehren subfactor の intermediate subfactor を見ることによって，このことが示せると思われる． (このことは， conformal inclusion SU(2)_{10} ⊂ SO(5)_{1} の場合にはすでに Rehren によって指摘されている． ) そうすると，そのような場合については M-M system から Longo-Rehren subfactor を作って dual に移行すると，単に generalized Longo-Rehren subfactor ができているということになり， [3] の最後であげられている予想が否定的に解ける．

引用文献は多くなりすぎるので，ごくわずかしか挙げていない．詳しくは， [1] の引用文献表を見ていただきたい．

References

[1] J. Böckenhauer, D. E. Evans, Y. Kawahigashi, Longo-Rehren subfactors arising from α-induction, preprint, math.OA/0002154.

[2] M. Izumi, The structure of sectors associated with the Longo-Rehren inclusions I. General theory, preprint 1999.

[3] K.-H. Rehren, Canonical tensor product subfactors, Commun. Math. Phys. 211, 395–406 (2000).