\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
\nopagenumbers

\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\ep{\varepsilon}
\def\limsup{\mathop{\overline{\hbox{lim}}}}
\def\liminf{\mathop{\underline{\hbox{lim}}}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 5}
\medskip
\rightline{1996年5月14日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（本などは見ないこと．）

\bigskip [1] 
各自然数$n$について
$f_n(x)$は，測度空間$(X,{\Cal B}, \mu)$上の実数値関数で，
$f_n(x)\ge 0\;\;\hbox{a.e.}$とする．この時，
$\dsize\liminf_{n\to\infty} f_n(x)\ge 0\;\;\hbox{a.e.}$であることを
示せ．

\bigskip [2]
$f(x)$を$\R$上の実数値連続関数で，常に$f(x)>0$となるものとする．
$\R^2$の部分集合$A$を$A=\{(x,y)\mid x\in\R, 0\le y\le f(x)\}$で定めるとき，
$\mu(A)=\dsize\int_{-\infty}^\infty f(x)\;dx$
であることを示せ．ただし，ここで左辺は$A$の$\R^2$におけるLebesgue測度，
右辺はRiemann積分の広義積分を表す．また，$\infty=\infty$の場合もこの等式は
成り立っていると考える．

\bigskip [3] 
$\ep\in(0,1)$が任意に与えられたとする．$[0,1]$の稠密な開集合
$U$で，$\mu(U)=\ep$となるものを構成せよ．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
\bye