\documentstyle{amsppt}

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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\ind{\text{ind}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 4}
\medskip
\rightline{1996年5月7日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（本などは見ないこと．）

\bigskip [1]
$\R$を$\R\times\{0\}$と同一視して，$\R^2$の部分集合と
みなす．この集合の（$\R^2$における）Lebesgue測度を求めよ．

\bigskip [2]
$f(x)$を$[0,1]$上の実数値連続関数で，常に$f(x)>0$となるものとする．
$\R^2$の部分集合$A$を$A=\{(x,f(x))\mid x\in[0,1]\}$で定めるとき，
この集合のLebesgue測度を求めよ．

\bigskip [3]
$n\ge 2$の時，$\R^n$の部分集合$A$で，
Lebesgue測度は0だが，連続濃度を持ち，かつ$\R^n$で
稠密になるようなものの例を一つあげよ．

\bigskip [4]
$f(x)$は，測度空間$(X,{\Cal B}, \mu)$上の実数値関数で，
すべての正の実数$\varepsilon$について，
$f(x)\ge -\varepsilon\;\;\hbox{a.e.}$とする．
（すなわち，$X$の部分集合$\{x\in X\mid f(x)<-\varepsilon\}$は，
測度0を持つ．）この時，
$f(x)\ge 0\;\;\hbox{a.e.}$であることを示せ．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
[1], [2], [3]は答だけでなくきちんと説明をつけてください．
\bye