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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\ind{\text{ind}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 3}
\medskip
\rightline{1996年4月30日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（ただし，本は見ないこと．）

\bigskip [1] $\R^2$の部分集合，$X=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le 1\}$
に対し，$\mu^*(X)$を求めよ．ただし$\mu^*$は，
授業で定義した$\R^2$上のLebesgue外測度である．
（定義に基づいて計算すること．）

\bigskip [2] $\R$上の増加関数$f(x)=[x]$を使って授業のように
有限加法族$\Cal F$と，その上の有限加法的測度$m$を作り，
さらにこれから外測度$\Gamma$を作る．（$[\hphantom{x}]$はGauss
記号である．）この$\Gamma$はどのようなものか，具体的に記述せよ．
また，$\R$上の$\Gamma$-可測な集合はどのようなものか，具体的に
記述せよ．

\bigskip [3]
$\R$上の増加関数$f(x)$を
$$f(x)=\cases 1,&x>0\hbox{の時，}\\
0, & x\le 0\hbox{の時，}\endcases$$
と定め，これを使って授業のように
有限加法族$\Cal F$と，その上の有限加法的測度$m$を作り，
さらにこれから外測度$\Gamma$を作る．
この$\Gamma$はどのようなものか，具体的に記述せよ．
また，$\R$上の$\Gamma$-可測な集合はどのようなものか，具体的に
記述せよ．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．

\bye