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\baselineskip 14pt
\nopagenumbers

\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\C{\bold C}
\define\ep{\varepsilon}
\def\limsup{\mathop{\overline{\hbox{lim}}}}
\def\liminf{\mathop{\underline{\hbox{lim}}}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 13}
\medskip
\rightline{7/9/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（本などは見ないこと．）

\bigskip [1]
$f(x)$は$\R$上の可積分関数であるとする．
$\dsize\lim_{\ep\to 0+}\int_{\R}
e^{-\ep x^2} f(x)\;dx=\int_{\R} f(x)\;dx$であることを示せ．

\bigskip [2]
集合$X$の部分集合の族$\Cal D$が次の3条件を満たすとき，
$\Cal D$は$X$上のd-族であると言う．

(a) $X\in \Cal D$.

(b) $A_1, A_2\in \Cal D$, $A_2\subset A_1$ならば，
$A_1\setminus A_2\in \Cal D$.

(c) $A_1\subset A_2\subset A_3\subset\cdots$で，
$A_n\in \Cal D$, $n=1,2,3,\dots$, ならば，
$\dsize\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \Cal D$.

この時次の(1)--(4)を示せ．

(1) 完全加法族はd-族である．

(2) d-族は単調族である．

(3) $X$の部分集合の族$\Cal C$について，$\Cal C$を含む
$X$上の最小のd-族$d(\Cal C)$が存在する．

(4) $X$の部分集合の族$\Cal C$が，
「$A_1, A_2\in \Cal C$ならば，$A_1\cap A_2\in \Cal C$」
という条件を満たせば，
$d(\Cal C)$は，$\Cal C$を含む$X$上の最小の完全加法族に
一致することを示せ．

\bigskip [3] 
$t>0$に対し，
$\dsize\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}\;dx$を求めよ．
計算の根拠をきちんと述べること．

ヒント：この式を$f(t)$とおいて$f'(t)$を求める．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
\bye