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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\C{\bold C}
\define\ep{\varepsilon}
\def\limsup{\mathop{\overline{\hbox{lim}}}}
\def\liminf{\mathop{\underline{\hbox{lim}}}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 12}
\medskip
\rightline{7/2/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（本などは見ないこと．）

\bigskip [1] 
$f(x)$は$\R$上の可測関数で，
$\dsize\int_{\R}(1+x^2)|f(x)|\;dx<\infty$を満たすとする．
この時，$\hat f(\xi)=\dsize\int_{\R} e^{-ix\xi}f(x)\;dx$と
おけば，
$\hat f(\xi)$は$\xi$で2回連続微分可能であることを示せ．
ただし，$\xi$は実数である．

\bigskip [2]
$f(t,z)$を$t\in \R$, $z\in\C$の関数として，次の条件が満たされてい
るとする．

(1) 任意の$z\in\C$に対し，$f(t,z)$は，$\R$上$t$について
Lebesgue可積分．

(2) ほとんどすべての$t\in\R$に対し，$f(t,z)$は$\C$上
$z$の正則関数．

(3) $\C$内の任意のcompact集合$K$について，関数$g(t)$が次の条件を
満たすように取れる．

$$|f(t,z)|\le g(t),\quad(t\in\R, z\in K),\quad\quad
\int_{\R} g(t)\;dt<\infty.$$

この時，$F(z)=\dsize\int_{\R} f(t,z)\;dt$は，
$z\in\C$の正則関数であって，
$F'(z)=\dsize\int_{\R} f_z(t,z)\;dt$であることを
示せ．ただしここで，$f_z(t,z)$は$f(t,z)$を$z$で微分
したものである．

\bigskip [3] 
$(X, \Cal B, \mu)$を測度空間とし，$\mu(X) > 0$とし，
さらに$T:X\to X$を次の3条件を満たす全単射とする．

(1) $A\subset X$が$A\in\Cal B$を満たせば，$TA\in \Cal B$,
$T^{-1}A\in \Cal B$.

(2) $A\in \Cal B$について，$\mu(A)=\mu(TA)$.

(3) $A\in \Cal B$が，
$\mu(A\cap (TA)^c)=\mu(A^c \cap TA)=0$を満たせば，
$\mu(A)=0$または，$\mu(A^c)=0$である．

さらに，$f(x)$を$X$上の実数値可測関数とするとき，
$f(x)=f(Tx)\;\;\hbox{a.e.}$であれば，ある定数$c\in\R$
が，$f(x)=c\;\;\hbox{a.e.}$となるように取れることを示せ．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
\bye