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\define\ep{{\varepsilon}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 11の簡単な解説}
\medskip
\rightline{1996年7月16日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
全部簡単な問題のつもりだったんですが，あまりよくは
できていませんでした．特に，[1], [3]はLebesgueの収束定理を
使えば事実上1行でできる，きわめて簡単な問題のつもりだったんですが，
それほどはできていませんでした．なぜ変わったことを始めるのでしょうか．
積分とlimが出て来たら，真っ先に考えることはLebesgueの収束定理であり，
それではできないときに初めて，ほかのことを考えるものです．

この種の問題は期末試験にも必ず出ます．

\bigskip [1]
常に$|e^{-ix\xi}f(x)|=|f(x)|$だから，可積分関数$|f(x)|$で
押さえることにより，
Lebesgueの収束定理が使えて，$\lim$が積分の中に入って，
$\dsize\lim_{\xi\to\xi_0} \hat f(\xi)= \hat f(\xi_0)$である．

\bigskip [2]
$E_1=E(|f| > 1)$, 
$E_2=E(|f|=1)$, 
$E_3=E(|f| < 1)$とし，さらに，
$f_1(x)=|f(x)|\chi_{E_1}(x)$,
$f_2(x)=|f(x)|\chi_{E_2}(x)$,
$f_3(x)=|f(x)|\chi_{E_3}(x)$とおく．
仮定とBeppo Leviの定理より，
$\dsize\lim_{p\to\infty} \dsize\int_X f_1(x)^p\;d\mu=
\dsize\int_{E_1}\infty\;d\mu < \infty$だから，
$\mu(E_1)=0$である．
あとは，Lebesgueの収束定理（有界収束定理）より，
$$\lim_{p\to\infty}\int_X |f(x)|^p\;d\mu=
\lim_{p\to\infty}\int_{E_2} |f(x)|^p\;d\mu+
\lim_{p\to\infty}\int_{E_3} |f(x)|^p\;d\mu=\mu(E_2)$$
である．

\bigskip [3]
$0 < h < 1$としたとき，
$$\align
g(x+h)-g(x)&=
\int_{x+1}^{x+1+h} f(t)\;dt-
\int_{x-1}^{x-1+h} f(t)\;dt\\
&=
\int_{\R} (\chi_{(x+1, x+1+h)}(t)-\chi_{(x-1, x-1+h)}(t))
f(t)\;dt\endalign$$である．
この右辺の積分される関数の絶対値は
可積分関数$|f(t)|$で押さえられているので，Lebesgueの収束定理が使えて，
$h\to0$の時，上の式は$0$に収束する．$h < 0$のときも同様．

\bigskip
配点は1番から順に，30, 40, 30点です．
最高点は100点（1人），平均点は42.1点でした．
\bye