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\define\ep{{\varepsilon}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 10の簡単な解説}
\medskip
\rightline{1996年6月25日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip 
[3]はともかく，[1], [2]はとても基本的な問題のつもりだったん
ですが，ちっともできていませんでした．

\bigskip [1]
これは授業でやったものとそっくりの問題です．

積分記号下での微分が正当化できて，Cauchy-Riemann方程式が
成り立つことがわかる．

\bigskip [2]
これも，もろにLebesgueの収束定理が使える形をしています．

$|f_n(x)-f(x)|^p\le(|f_n(x)|+|f(x)|)^p\le 2^p g(x)^p$
で，$g(x)^p$は可積分だから，Lebesgueの収束定理が使える．

\bigskip [3]
左側の不等式は明らか．（これは，Fatouのlemmaなんかではありません．）

右側については，まず$g_n(x)=\dsize\max_{1\le j\le n} f_j(x)$とおく．
次に，$E_j=E(g_n=f_j)\setminus (E_1\cup \cdots \cup E_{j-1})$とおくと，
$E$は$E_j$たちのdisjoint unionになっている．
すると，
$$
\dsize\int_E g_n(x)\;d\mu=
\sum_j \dsize\int_{E_j} f_j(x)\;d\mu
\le\sum_j \mu(E_j)=\mu(E)$$
がわかる．

$g_n(x)$は正値で単調増大だから，
$\dsize\lim_{n\to\infty}g_n(x)=f(x)$と
Beppo Leviの定理によって，
$\dsize\int_E f(x)\;d\mu\le\mu(E)$がわかる．

\bigskip
配点は1番から順に，35, 35, 30点です．
最高点は80点（2人），平均点は30.8点でした．
\bigskip
演習の成績の付け方について質問が出たので，答えます．
まず，（悪いほうから2回分を除いた）平均でつけるんですが，
その平均点と成績（A〜D）の対応はまだ決めていません．
現在までのデータをふまえて言えば，例えば，70点以上が
A，45点〜69点がB，20点〜44点がC，20点未満がDといったところです．
（これはあくまで現時点における一つの案です．）
7月16日に最後の小テストをした後，補講の時にこの平均点とそれに基づく
仮の成績を付けて返します．そして，期末試験の成績がこの仮の成績より
ずっとよければ，プラスアルファがついたものが最終成績になります．
何が「ずっとよい」かは主観的なものですが，過去の例だとこれが適用される人は
5人くらいのオーダーでしょう．

\bye