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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\ind{\text{ind}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 2}
\medskip
\rightline{1996年4月23日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（ただし，本は見ないこと．）

\bigskip [1] $X$を3つの要素$a,b,c$からなる集合とする．
$X$上の有限加法族をすべてあげよ．（答だけでなく，説明もつけること．）

\bigskip [2] $X=\{1,2,3,\dots\}$とし，$X$の部分集合全体から
なる有限加法族$\Cal F$を考える．$A\in\Cal F$に対し，
$$m(A)=\sum_{n\in A}\frac{1}{n}$$
とおいたものは，有限加法的測度であるか，また，完全加法的測度
であるか．それぞれ，簡単な理由を付けて答えよ．

\bigskip [3]
有理数の集合$\Q$の部分集合で，$\dsize A=\bigcup_{j=1}^n
((\alpha_j,\beta_j)\cap \Q)$, (disjoint union)の形のもの全体を
$\Cal F$とする．ただし，ここで$\alpha_j$は$-\infty$または，
無理数，$\beta_j$は，$\infty$または無理数とする．また，$n=0$の時，
$A=\varnothing$とする．上の形の$A$に対し，$m(A)=\dsize\sum_{j=1}^n
([\beta_j]-[\alpha_j])$と定める．（ただしここで，$[\hphantom{x}]$は
Gauss記号で，$[\infty]=\infty$, $[-\infty]=-\infty$とする．
また実数$\alpha,\beta$について$\infty-\alpha=\beta-(-\infty)=
\infty-(-\infty)=\infty$と定めた．さらに，$\infty+\alpha=\infty+\infty=
\infty$である．）

(1) ${\Cal F}$は$\Q$上の有限加法族であることを示せ．

(2) $m$は有限加法的測度か．簡単な理由を付けて答えよ．

(3) $m$は完全加法的測度か．簡単な理由を付けて答えよ．

\bigskip [4]授業で定義した，$\R$上のLebesgue外測度$\mu^*$に
対し，次の量を求めよ．

(1) $\mu^*(\Q)$

(2) $\mu^*((\R\setminus \Q)\cap [0,1])$. ただし，
$\R \setminus \Q$は，$\Q$の$\R$における補集合である．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．

\bye