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\define\R{\bold R}
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\define\N{\bold N}
\define\C{\bold C}
\define\ep{\varepsilon}
\def\limsup{\mathop{\overline{\hbox{lim}}}}
\def\liminf{\mathop{\underline{\hbox{lim}}}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 10}
\medskip
\rightline{6/18/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（本などは見ないこと．）

\bigskip [1]
$f(\xi)$を$(0,\infty)$上の有界可測関数とする．
$H=\{z\in\C\mid \hbox{Im}\; z > 0\}$とおき，$z\in H$の時，
$F(z)=\dsize\int_0^\infty f(\xi)e^{i\xi z}\;d\xi$とおく．
この積分の値が複素数値で定まり，$F(z)$が$H$上正則となることを
示せ．（使う定理，その定理が使える根拠をはっきりと
述べること．）

\bigskip [2] $(X, {\Cal B}, \mu)$を測度空間とする．
この上の可測関数$f_n(x), g(x)$, ($n=1,2,\dots$)があって
$X$上$|f_n(x)|\le g(x)$を満たし，またすべての$x\in X$で，
$\dsize\lim_{n\to\infty} f_n(x)$が存在するとし，この極限を
$f(x)$とおく．もしある$p>0$について
$\dsize\int_X g(x)^p\;d\mu<\infty$であれば，
$\dsize\lim_{n\to\infty}\int_X |f_n(x)-f(x)|^p\;d\mu=0$であること
を証明せよ．

\bigskip [3]
$(X, {\Cal B}, \mu)$を測度空間とする．$X$上の正値可測関数の列
$\{f_n(x)\}_n$があり，すべての$E\in\Cal B$について，
$\dsize\sup_n \int_E f_n(x)\;d\mu\le\mu(E)$と仮定する．
この時，$f(x)=\dsize\sup_n f_n(x)$とおけば，
すべての$E\in\Cal B$について，
$$\limsup_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\;d\mu
\le \int_E f(x)\;d\mu\le \mu(E)$$
であることを示せ．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
\bye