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\def\limsup{\mathop{\overline{\hbox{lim}}}}
\def\liminf{\mathop{\underline{\hbox{lim}}}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 8}
\medskip
\rightline{6/4/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（本などは見ないこと．）

\bigskip
[1] 次の3条件をすべて満たす，$[0,1]$上の実数値連続関数列
$\{f_n(x)\}_n$の例を一つあげよ．（きちんと説明を
つけること．）

(1) すべての$x\in[0,1]$で，$\dsize\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$.

(2) $\dsize\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)\;dx=0$.

(3) すべての$n$について$|f_n(x)|\le g(x)\;\hbox{a.e.}$となる
ような，$[0,1]$上の可積分関数$g(x)$は存在しない．

\bigskip [2] 定数$C\ge0$と$\R$上の実数値可測関数$f(x)$が，
次の条件を満たすとする．

「すべての有界区間$I$上，$\dsize\int_I |f(x)|\;dx\le C$である．」

この時，$f(x)$は必ず$\R$上可積分になるか？
理由を付けて答えよ．

\bigskip [3] 次の論法の誤りを指摘せよ．

$\{f_n(x)\}_n$を測度空間$(X, \Cal B, \mu)$上の実数値可測関数列で，
ほとんどいたるところ，$\dsize\lim_{n\to\infty} f_n(x)$が存在する
ものとし，この極限を$f(x)$とおく．（極限値が存在しない点$x$では
$f(x)=0$とおく．）この時，Fatouのlemmaにより，
$$\int_X f(x)\;dx=\int_X \liminf_{n\to\infty} f_n(x)\;dx
\le \liminf_{n\to\infty} \int_X f_n(x)\;dx$$であるが，一方，
関数列$\{-f_n(x)\}_n$に対してFatouのlemmaを適用して，
$$-\int_X f(x)\;dx=\int_X \liminf_{n\to\infty} -f_n(x)\;dx
\le \liminf_{n\to\infty} -\int_X f_n(x)\;dx,$$
すなわち
$$-\int_X f(x)\;dx\le 
-\limsup_{n\to\infty} \int_X f_n(x)\;dx$$を得る．これと最初の
不等式と合わせて，
$$\limsup_{n\to\infty} \int_X f_n(x)\;dx \le 
\int_X f(x)\;dx \le
\liminf_{n\to\infty} \int_X f_n(x)\;dx$$
を得る．つまり，$\dsize\lim_{n\to\infty} \int_X f_n(x)\;dx=
\int_X f(x)\;dx$である．

\bigskip
[4] $(X, {\Cal B}, \mu)$を測度空間とし，
$f(x)$を$X$上の複素数値可測可積分関数とする．
すべての$A\in \Cal B$について，$\dsize\int_A f(x)\;d\mu$
が実数であれば，$f(x)$はほとんどいたるところ実数値を
取ることを示せ．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
\bye