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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(3)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] $\mathbb R$ 上の関数
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty 
\frac{1}{k(k+1)}\chi_{[k,k+1]}(x)$ の，
$\mathbb R$ 上の積分の値を定義に従って求めよ．
測度は Lebesgue 測度である．

\bigskip
[2] $\displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\;dx$ の
値を定義に従って求めよ．測度は Lebesgue 測度である．

\bigskip
[3] $[0,\infty)$ 上の実数値 Lebesgue 可測関数 $f(x)$ で，
任意の $c>0$ について $[0,c]$ 上 Lebesgue 可積分
であって，$\displaystyle\lim_{c\to\infty}\int_0^c f(x)\;dx$ が
実数値として存在するが，$[0,\infty)$ 上 Lebesgue 可積分では
ないものの例を挙げよ

\bigskip
[4] $\mathbb R$ 上の Lebesgue 可測関数の列 $f_1(x), f_2(x),\dots$ を
考える．すべての $k$ について $\mathbb R$ 上 $0\le f_k(x) <\infty$
であるとする．正の実数 $c_1, c_2,\dots$ をうまく選べば $\mathbb R$
上ほとんどいたるところ $\sum_{k=1}^\infty c_k f_k(x)$ が収束する
ようにできることを示せ．

\end{document}