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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(8)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] $\mathbb R$ の Lebesgue 可測集合全体を $\mathcal B$ とし，
$E\in\mathcal B$ に対し，$0\in E$ ならば $\nu(E)=1$,
$0\notin E$ ならば $\nu(E)=0$ とおく．

(1) $\nu$ が測度であることを示せ．

(2) $\nu$ を完備化した測度はどのようなものか，記述せよ．

\bigskip
[2] $f(x)$ を $\mathbb R$ 上の常に正の値を取る Lebesgue 可測関数とする．
$\mathbb R$ の Lebesgue 可測集合全体を $\mathcal B$ とし，
$E\in\mathcal B$ に対し，
$\nu(E)=\displaystyle \int_E f(x)\;dx$ とおく．

(1) $\nu$ が測度であることを示せ．

(2) $\nu$ が完備であることを示せ．

\bigskip
[3] ${\mathbb R}^n$ の Borel 完全加法族と
 ${\mathbb R}^m$ の Borel 完全加法族の直積完全加法族は
 ${\mathbb R}^{n+m}$ の Borel 完全加法族に等しいことを示せ．

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[4] 次の主張は正しくないことを示せ．

すべての $n$ について，${\mathbb R}^n$ の Lebesgue 可測集合は
Borel 集合(すなわち Borel 完全加法族の元)である．

\bigskip
[5]  $f(x)$を$\mathbb R$上の実数値Lebesgue可積分関数とする．
任意の区間$I$に対し$\displaystyle\int_I f(x)\;dx\ge0$であれば，
$f(x)\ge0$ a.e. であることを示せ．


\end{document}