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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(6)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] $[0,\infty)$ 上の，$[0,\infty)$ に値を持つ連続関数 $f(x)$ を考える．
Riemann 積分として $\displaystyle \lim_{C\to\infty}\int_0^C f(x)\;dx$
が存在するとき，$f$ は Lebesgue 積分の意味で $[0,\infty)$ 上可積分
であることを示せ．

\bigskip
[2] 閉区間 $[0,1]$ 内の有理数に番号をつけて $p_1,p_2,\dots$ とする．
$x\in[0,1]$ の無限級数
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k} |x-p_k|^{-1/2}$ は
$[0,1]$ 上ほとんどいたるところ収束することを示せ．

\bigskip
[3] $f(x)$は$(0,\infty)$上の実数値Lebesgue可測関数で，
$\displaystyle\int_0^\infty x|f(x)|\;dx<\infty$ であるとする．
$$\lim_{t\to0+}\frac{1}{t}\int_0^\infty (\sin tx -tx)f(x)\;dx=0$$
を示せ．

\bigskip
[4] $p(x)$ を $x$の複素係数多項式とする．実数 $t$ に対して
$f(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty p(x) e^{-x^2} e^{-ixt}\;dx$
とおけば，これは $t$ の $C^\infty$-級関数であることを示せ．

\end{document}