\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(2)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は1問20点です．平均点は67.2点，最高点は100点(7人)でした．
解答は略解です．実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります．

\bigskip
[1] 以下「有限個の和集合」というのは0個の場合(空集合)も含みます．

(1) $\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}$の有限個の和集合全体．

(2) $\{a,b\}, \{c\}, \{d\}$の有限個の和集合全体．
($(a,b,c,d)=(1,2,3,4)$, $(1,3,2,4)$, $(1,4,2,3)$,
$(2,3,1,4)$, $(2,4,1,3)$, $(3,4,1,2)$.)

(3) $\{a,b\}, \{c, d\}$の有限個の和集合全体．
($(a,b,c,d)=(1,2,3,4)$, $(1,3,2,4)$, $(1,4,2,3)$.)

(3) $\{a,b, c\}, \{ d\}$の有限個の和集合全体．
($(a,b,c,d)=(1,2,3,4)$, $(1,2,4,3)$, $(1,3,4,2)$,
$(2,3,4,1)$.)

(4) $\{\varnothing,\{1,2,3,4\}\}$.

\bigskip
[2] $m(A)$は$A$に含まれる整数の数(無限個の時は$\infty$)です．
このことから完全加法性がわかります．

\bigskip
[3] $E_n=(1/(n+1),1/n]$とおけば $\bigcup_{n=1}^\infty E_n=(0,1]$で
あり，$m(E_n)=0$, $m(E)=1$です．

\bigskip
[4] 直接確認できます．

\bigskip
[5] 答えはいろいろありますが，例えばLebesgue外測度を$\mu^*$
として次のものです．
$$\Gamma(A)=\left\{
\begin{array}{ll}
0&(\mu^*(A)=0\hbox{の時}),\\
\mu^*(A)+1&(\hbox{その他の時}).\end{array}\right.$$

\end{document}