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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(10)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] $1< p <\infty$, $1/p+1/q=1$ とし，$f\in L^p({\mathbb R})$ を取る．
$$\sup\{\left|\int_{\mathbb R} f(x)g(x)\;dx\right|
\mid g\in L^q({\mathbb R}), \|g\|_q\le1\}$$ を求めよ．

\bigskip
[2] すべての $p\in[1,\infty)$ について $f\in L^p({\mathbb R})$
だが $f\notin L^\infty({\mathbb R})$ となるような $f$ の
例を挙げよ．

\bigskip
[3] $f,g \in L^2({\mathbb R})$ とする．

(1) $f*g(x)=\displaystyle\int_{\mathbb R} f(x-y)g(y)\;dy$ の右辺は
すべての $x\in\mathbb R$ について可積分であることを示せ．

(2) $f*g$ は連続であることを示せ．

(3) $\displaystyle\lim_{|x|\to\infty} f*g(x)=0$ であることを示せ．

\bigskip
[4] $f, g \in L^1({\mathbb R})$ であるが，
$f*g(x)=\displaystyle\int_{\mathbb R} f(x-y)g(y)\;dy$
の右辺が可積分ではない $x\in\mathbb R$ が
稠密に存在するような $f,g$ の例を挙げよ．

\end{document}