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\begin{document}
\centerline{2015年解析学特別演習Iテスト(9)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は1問25点です．平均点は43点，最高点は100点(5人)でした．
解答は略解です．実際の答案ではもっと詳しく書く必要があります．

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[1] ${\mathbb R}^n$, ${\mathbb R}^m$, ${\mathbb R}^{n+m}$ の開集合族
をそれぞれ ${\mathcal U}_n$, ${\mathcal U}_m$, ${\mathcal U}_{n+m}$ と
おき，Borel 完全加法族を ${\mathcal B}_n$, ${\mathcal B}_m$, 
${\mathcal B}_{n+m}$ とおく．

まず $${\mathcal B}=\{B\subset {\mathbb R}^n\mid
B\times {\mathbb R}^m\in{\mathcal B}_{n+m}\}$$ とおく．
${\mathcal U}_n\subset {\mathcal B}$ であり，
${\mathcal B}$ は完全加法族なので，
${\mathcal B}_n\subset {\mathcal B}$ である．すなわち，
任意の $B\in{\mathcal B}_n$ に対して $B\times {\mathbb R}^m
\in {\mathcal B}_{n+m}$ である．同様にして，
任意の $B\in{\mathcal B}_m$ に対して ${\mathbb R}^n\times B
\in {\mathcal B}_{n+m}$ である．

次に，$${\mathcal B}'=\{B\subset {\mathbb R}^n\mid
\hbox{すべての}U\in{\mathcal U}_m\hbox{について}
B\times U\in{\mathcal B}_{n+m}\}$$ とおく．
${\mathcal U}_n\subset {\mathcal B}'$ であり，
また $B^c\times U={\mathbb R}^n\times U\setminus B\times U$
であることより，${\mathcal B}'$ は完全加法族である．
このことより，
${\mathcal B}_n\subset {\mathcal B}'$ である．すなわち，
任意の $B\in{\mathcal B}_n$, 任意の $U\in{\mathcal U}_m$ 
に対して $B\times U
\in {\mathcal B}_{n+m}$ である．同様にして，
任意の $U\in{\mathcal U}_n$, $B\in{\mathcal B}_m$ に対して 
$U \times B \in {\mathcal B}_{n+m}$ である．

次に，$${\mathcal B}''=\{B\subset {\mathbb R}^n\mid
\hbox{すべての}E\in{\mathcal B}_m\hbox{について}
B\times E\in{\mathcal B}_{n+m}\}$$ とおく．
${\mathcal U}_n\subset {\mathcal B}''$ であり，
また $B^c\times E={\mathbb R}^n\times E\setminus B\times E$
であることより，最初に証明したことが使えて
${\mathcal B}''$ は完全加法族である．このことより，
${\mathcal B}_n\subset {\mathcal B}''$ である．すなわち，
任意の $B\in{\mathcal B}_n$, 任意の $B'\in{\mathcal B}_m$ に対して 
$B \times B' \in {\mathcal B}_{n+m}$ である．
このことから，${\mathcal B}_n$ と ${\mathcal B}_m$ の直積
完全加法族が ${\mathcal B}_{n+m}$ に含まれることがわかる．

逆に，$U\in {\mathcal U}_{n+m}$ とすると，$U=\bigcup_{k=1}^\infty
V_k\times W_k$ ($V_k\subset {\mathbb R}^n, W_k\subset {\mathbb R}^m$ 
はいずれも，中心の座標がすべて有理数で半径も有理数であるような開球)
と書けるので，${\mathcal U}_{n+m}$ は
${\mathcal B}_n$ と ${\mathcal B}_m$ の直積
完全加法族に含まれ，${\mathcal B}_{n+m}$ が
${\mathcal B}_n$ と ${\mathcal B}_m$ の直積
完全加法族に含まれることがわかる．

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[2] (1) たとえば $$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
1/\sqrt x,&(0