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\centerline{解析学IV 小テストNo\. 11 略解・解説}
\medskip
\rightline{2000年7月11日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip

今回の配点は[1]から順に30, 30, 40点で，
平均は26.3点，最高は80点(2人)でした．
採点はTeaching Assistantの勝良君です．
簡単な解説をつけます．

\bigskip [1]
$E$はBorelとしてかまいません．
Lebesgue可測な$A\subset \R$のうち，
$\mu(A\cap E)=\mu(A)/2$となるもの全体は完全加法族を
なし，開区間がすべて入るので，Borel集合もすべて入ります．
$A=E\cap [-n,n]$とおけば，$\mu(A)=\mu(A)/2 < \infty$より
$\mu(A)=0$がわかり，$\mu(E)=0$となって矛盾します．

\bigskip [2]
外側と内側からの可測集合による近似を使って，両方向きの
不等号を示します．
$\Gamma_{X\times Y}(A\times B)\le\Gamma_X(A)\Gamma_Y(B)$
の方は$A, B$をそれぞれ外側から
${\Cal B}_X$, ${\Cal B}_Y$の元で覆うことにより簡単に得られます．

逆向きのためには，$A\times B$を，$\bigcup_n E_n\times F_n$
(disjoint union),
$E_n\in {\Cal B}_X$, $F_n \in{\Cal B}_Y$のように覆っておいて，
$\mu_{X\times Y}(\bigcup_n E_n\times F_n)$をFubiniの定理を使って
下から評価します．

\bigskip [3]
単関数で$f(x)$を下から近似していけば普通にできます．

\bye