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\documentstyle{amsppt}

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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\newsymbol\varnothing 203F
\def\limsup{\mathop{\overline{\hbox{lim}}}}
\def\liminf{\mathop{\underline{\hbox{lim}}}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 4}
\medskip
\rightline{1997年5月12日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
自分のノートを参照してよい．（ただし，本は見ないこと．）

\bigskip [1]
$\R^2$において，つぎのおのおのの集合がLebesgue可測である
ことを示せ．

(1) $A=\{(x,0)\mid 0 \le x < 1\}$

(2) $A=\{(x,\sin(1/x))\mid x > 0\}$

(3) $A=\{(x,y)\mid x, y\in\Q\}$

(4) $A=\{(x,y)\mid x\in\Q\}$

\bigskip [2]
4/21の講義のように，
実数の集合$\R$の部分集合で，$\dsize A=\bigcup_{j=1}^n
(a_j,b_j]$, (disjoint union)の形のもの全体のなす
有限加法族を$\Cal F$とする．
$\R$上の単調増加関数$f(x)$を，
$$f(x)=\cases 1,&\text{$x \ge 0$のとき，}\\
0,&\text{$x < 0$のとき，}\endcases$$
と定め，この$f$を使って，4/21の講義のように$\Cal F$上の
有限加法的測度$m$を定める．
さらにこの$m$から4/21の授業のようにして
外測度$\Gamma$を作る．

このとき$\Gamma$-可測な集合は何か．具体的に決定せよ．

\bigskip [3]
$f_n(x)$, $(n=1,2,3,\dots)$を，$\R$上で定義された
実数値関数で，各$n$について，
$0\le f_n(x) \le 1 \text{\ a.e.} x$となるものとする．
この時，$0\le \dsize\liminf_{n\to \infty} f_n(x)\le 1\text{\ a.e.} x$
であることを証明せよ．

\bigskip [4] $f(x,y)$を，$\{(x,y)\mid y > 0\}$上で定義された
実数値関数で，任意の$y > 0$について，
$0\le f(x,y) \le 1 \text{\ a.e.} x$となるものとする．この時，
$0\le \dsize\liminf_{y\to 0+} f(x,y)\le 1\text{\ a.e.} x$である
と結論できるか．Yesならば証明を与え，Noならば反例を与えよ．

\bigskip\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．

\bye