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\documentstyle{amsppt}

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\define\Z{\bold Z}
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\define\e{\varepsilon}
\newsymbol\varnothing 203F

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 8}
\medskip
\rightline{1997年6月9日}
\rightline{河東泰之}
\rightline{{\tt e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}}
\rightline{{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
自分のノートを参照してよい．（ただし，本は見ないこと．）

\bigskip [1]
(1) 次の等式を示せ．
$$ \int_0^1 \frac{\log x}{1-x}\;dx=-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}.$$
(2)  次の等式を示せ．
$$\lim_{\e\to 0}\int_0^\infty\frac{\sin \e x}{\e(e^x-1)}\;dx
=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}.$$

\bigskip [2]
集合$X$上の完全加法族$\Cal B$と測度$\mu$について考える．
$X$上の実数値可測関数列$\{f_n(x)\}_n$について，
$X$の各点で$\dsize\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$であるとする．また，
定数$C$で，各$n$について，$\dsize\int_X |f_n(x)|\;d\mu\le C$となる
ものが存在するとする．
このとき，次の問に答えよ．

(1) $f(x)$が可積分で，$\int_X |f(x)|\;d\mu\le C$であることを示せ．

(2) 上の条件を満たしているが，
$\dsize\lim_{n\to\infty}\int_X f_n(x)\;d\mu=\int_X f(x)\;d\mu$
が成立しないような例を挙げよ.

\bigskip [3]
集合$X$上の完全加法族$\Cal B$と測度$\mu$, $\mu_n$ $(n=1,2,\dots)$
について考える．$\mu(X),\mu_n(X)<\infty$, $(n=1,2,\dots)$と仮定する.
すべての，$A\in\Cal B$について$\dsize\lim_{n\to\infty}\mu_n(A)=\mu(A)$
であれば，$X$上の任意の実数値有界可測関数$f(x)$について，
$\dsize\lim_{n\to\infty} \int_X f(x)\;d\mu_n=\int_X f(x)\;d\mu$
が成り立つことを示せ.

\bigskip\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
\bigskip
7月7日は上海の学会に出張するため，授業は休講にして後に補講を
行いますが，演習の時間の小テストはこの日にもやりますので間違えない
ようにしてください．
\bye