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\def\R{{\bold R}}
\def\ep{{\varepsilon}}

\centerline{1996年度解析学IV期末テスト解説}
\rightline{1996年9月11日}
\rightline{河東泰之}
\bigskip

答案の得点の横に赤で書いてあるのが，この講義の成績，その横に
青で書いてあるのが演習の成績です．
配点は，1番から順に，
20, 20, 20, 25, 25, 20, 25点で合計155点満点です．
最高点は119点，平均点は48.2点，得点の分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--39 (点) && 40--49 && 50--59
&& 60--69  && 70--79 && 80--89 && 90-99 && 100--109 && 110-- & \cr
\vsp\t
&  15（人) && 7 && 1 && 4 && 5 && 4 && 2 && 1 && 2 & \cr
\vsp\t
}}$$

成績と点数の対応は次のとおりです．
（試験が欠席の人はこれに入っていません．）
$$\align
\text{75点以上}&A\;\;\;(\text{12人}),\\
\text{60点以上74点以下}&B\;\;\;(\text{6人}),\\
\text{45点以上59点以下}&C\;\;\;(\text{6人}),\\
\text{44点以下}&D\;\;\;(\text{17人}).
\endalign$$

また，演習の成績が，7月に付けた仮の成績からアップした人は
2人だけです．それらの人には，青字の成績の横にプラスの記号が
ついています．

講義の単位を落とした人には追試があります．12月頃の予定です．
また，演習の単位を落とした人には
レポート提出を課す予定です．いずれも掲示に注意してください．

以下，各問に略解，解説を付けます．実際の答案では
もっと詳しく説明しないと減点になります．

[1] 各問$-15$点〜5点でつけました．マイナスというのは，他の問題が
できているぶんから引く，ということです．つまり[2]から[7]で，
50点分できていても，この4つが白紙なら総点は$-10$点です．

できなかった人はよく復習してください．

[2] これはほとんど授業でやりました．Beppo Leviまたは，
Lebesgueの収束定理ですぐできます．ただ，$\Phi(E)$が
$\pm\infty$でない有限な実数であることは，きちんと断って
下さい．もちろん簡単なことですが，断っていない人は
2点減点です．

[3] Fatouのlemmaを使えば明らかです．（Lebesgueの収束定理を
使うのではありません．）

[4] Lebesgue測度が0なら，
$\dsize A\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_{jk}$,
$\dsize\sum_{k=1}^\infty \mu(I_{jk}) < 1/2^j$となる開区間
$I_{jk}$が取れる．これらを全部あわせたものを取ればよい．

逆に(1), (2), (3)を満たす$I_n$があれば，すべての
$k$について，
$A\subset\dsize\bigcup_{n=k}^\infty I_n$だから，
$A$のLebesgue測度は0になる．

[5] (1) 授業でやった$L^1(\R)$の時の証明を
まねすればできる．

(2) まず，
Cauchy-Schwarzより，$f*g$が定義できる．
$t\in \R$に対し，$f_t(x)=f(t-x)$とおくと，
(1)を使って$t\to s$の時，$\|f_t-f_s\|_2\to0$が示せる．
これと，Cauchy-Schwarzで連続性が出る．

[6] (1) 無限和のように見えるが，実は$x$または$y$を固定すれば
有限和なので簡単に計算できて，
前者の積分は0，後者は1となる．

(2) $f(x,y)$は可積分でない．（答案ではちゃんと説明が
必要です．）

[7] (1) $\nu$は，
半開区間有限個のdisjoint union全体の上で有限加法的である．
よって，4/30の授業の定理より，半開区間有限個のdisjoint union
はすべて$\Gamma$-可測である．$\Gamma$-可測な集合全体は
完全加法族だから，Borel集合はすべて$\Gamma$-可測な集合の
族に属する．

(2) [2]で示したように，$\nu$は，
半開区間有限個のdisjoint union全体の上で完全加法的である．
よって，Hopfの拡張定理より，$\nu$のBorel集合全体への
拡張は一意的である．一方，$\R$上のBorel集合$A$について
$\dsize\int_A f(x)\;dx$を対応させる写像は明らかに
$\nu$の拡張なので，一意性より結論を得る．

\bye