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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (1)}
\rightline{2010年10月4日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．裏面を使用してもかまい
ませんが，その場合は表面の最後に「裏面使用」と書いてください．

今回はノート，本など持ち込み不可です．

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[1] 次の各命題のステートメントを書け．

(1) Lebesgue の収束定理

(2) Fatou の補題

(3) 単調収束定理

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[2] 実数列 $\{a_n\}_n$ と実数 $a$ について次の問いに答えよ．

(1) $\dsize\limsup_{n\to\infty} a_n$,
$\dsize\liminf_{n\to\infty} a_n$ の定義を書け．

(2) $\dsize\limsup_{n\to\infty} a_n =\dsize\liminf_{n\to\infty} a_n=a$
と $\dsize\lim_{n\to\infty} a_n=a$ が同値であることを (1) の定義に
基づいて示せ．

\medskip
[3] ${\bold R}$ の稠密な開集合の Lebesgue 測度の取りうる値の
下限を求めよ．

\medskip
[4]
測度空間 $(X, {\Cal B}, \mu)$ と，その上の複素数値可測関数
$f(x)$ について，$\dsize\int_X |f(x)|\;d\mu=0$ であれば，
ほとんどいたるところ $f(x)=0$ であることを示せ．

\bigskip
[5] 次の積分の値を求めよ．
$$\dsize \int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{1+x^2}\;dx.$$

\bye