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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (4)}
\rightline{2007年12月3日 10:00-12:15}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．自筆ノートのみ持込可で行います．

以下のすべての問題で，
考えている測度はLebesgue 測度である．

\bigskip [1] $[0,2\pi]$ 上の可積分関数 $f$ に対し，
その Fourier 係数を
$\dsize a_n=\int_0^{2\pi} f(x)e^{-inx}\;dx$, $n\in\Z$,
と定める．
$\sum_{n\in\Z}|a_n|^2< \infty$ であれば，$f\in L^2([0,2\pi])$
であることを示せ．

\medskip
[2] $t>0$ に対し，
$f(t)=\dsize\sum_{n\in\Z}\frac{1}{e^{nt}+e^{-nt}}$
とおく．$t f(\pi t)=f(\pi/t)$ を示せ．

\medskip
[3] $\dsize\sum_{n\neq0, n\in\Z}\frac{1}{n^2} e^{inx}$
の値を具体的に求めよ．

\medskip
[4] $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{1}{(2n-1)^3}$$
の値を求めよ．

\bye