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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (2)}
\rightline{2007年10月29日10:00〜12:15}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．自筆ノートのみ持込可で行います．

\bigskip
[1] Plancherel の定理を用いて次の積分の値を求めよ．
$$\dsize \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{(1+x^2)^2}\;dx.$$

\medskip
[2] $\R$ 上の関数 $\dfrac{x}{1+x^2}$ の $L^2$-関数としての
Fourier 変換を求めよ．

\medskip
[3] $\R$ 上の関数 $\dfrac{1}{(1+x^2)^2}$ の Fourier 変換を求めよ．

\medskip
[4] 次のすべての条件を満たす $\R$ 上の関数 $f(x)$ の例を一つ
あげよ．考えている測度は Lebesgue 測度である．
条件を満たしていることをきちんと示すこと．

(1) $f(x)$ は連続である．

(2) $f(x)$ は可積分である．

(3) $f(x)$ の Fourier 変換は可積分ではない．

\medskip
[5] $f\in L^2(\R)$ と $t\in\R$ に対し，
$f_t(x)=f(x-t)$ とおく．
$\hat f_t(\xi)=e^{-it\xi}\hat f(\xi)$ であることを示せ．
ここで考えているのは $L^2$-関数としてのFourier 変換である．

\bye