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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (1) 解説}
\rightline{2007年10月15日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

最高点は100点(1人)，平均点は51.4点でした．簡単な解説を下につけます．

\bigskip
[1] (点数なし) 本を写していただけの人もいるし，この問題は点数には関係
ないことにしましたが，非常に多くの人が間違えていました．
これらの定理はこの授業で頻繁に使います．これらが身についていないと
$\boxed{\hbox{ほぼ確実についていけなくなります}}$．
怪しい人は$\boxed{\hbox{必ず}}$，
よく復習しておいてください．

チェックでは可測かどうか，すべての点での収束かそれともa.e.か，などはとりあえず
問題としませんでした．重要な点は下記のとおりです．

(1) すべての関数の絶対値が共通の可積分関数で抑えられること

(2) 不等号の向きと，関数が正値であること(あるいは実数値
可積分関数で下から抑えられること)

(3) 単調増大性と，関数が正値であること(あるいは実数値
可積分関数で下から抑えられること)

(2)で不等号を逆向きに書いている人が少なからずいました．もし迷ったのだと
しても，簡単な例(たとえば $\chi_{[n,\infty)}$ など)で考えればどちら向き
かわかるはずです．

\medskip
[2] (40点)
$\mu(A)<\infty$ が必要十分条件です．

これが十分条件であることは Cauchy-Schwarz の不等式からわかります．

必要条件であることは次のようにわかります．
$\mu(A)=\infty$ であったとすると，任意に与えられた $k$ に対し，
十分大きな $n$ をとって $[-n,n]\cap A$ を考えることにより，
可測集合 $B\subset A$ で，$k < \mu(B) < \infty$ となるものが
取れます．これを繰り返し使うことにより，互いに disjoint な
可測集合 $A_n$ ($n=1,2,3,\dots$) で，
$A_n \subset A$, $n^2 < \mu(A_n) < \infty$ と
なるものが取れます．
$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\mu(A_n)}\chi_{A_n}$$
とおくと，$\int f(x)\;dx=\sum_{n=1}^\infty 1=\infty$ ですが，
$\int f(x)^2\;dx=\sum_{n=1}^\infty 1/\mu(A_n) < \infty$ となります．

\medskip
[3] (20点$\times3$)

(1) は大変有名なもので，この授業で繰り返し使います．
(2)もどこにでも出ているもので，こちらも
この授業で出てきます．(3)も典型的なパターンの留数計算です．どこにでも
出ていることので，解説は簡単に書きます．これもできなかった人は
よく復習しておいてください．

(1) この積分を二つかけて $\R^2$ 上の積分にして，極座標に直すと不定
積分できる形になります．答えは $\sqrt{\pi}$ です．

(2) 原点中心，半径 $N$ で上半平面にある半円板から，
原点中心，半径 $\varepsilon$ で上半平面にある半円板を除いたものの境界で
積分し，留数計算で $N\to\infty$, $\varepsilon\to0$ とします．
大きい半円周の上の線積分が 0 に行き，小さい半円周の上の線積分から
$\pi$ が出ます．答えは $\pi$ です．

(3) 原点中心，半径 $N$ で上半平面にある半円板の境界上で積分して留数計算
します．$N\to\infty$ としたとき，半円周上の積分は 0 に行き，
$z=i$ での留数から，答えは $\pi/2$ となります．

\bye