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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (1)}
\rightline{2007年10月9日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．この試験はノート持ち込み可です．

\bigskip
[1] 次の各命題のステートメントを書け．

(1) Lebesgue の収束定理

(2) Fatou の補題

(3) 単調収束定理

\medskip
[2] $\R$ の可測集合 $A$ について次の性質が成り立つための必要十分
条件を求めよ．ただし考えている測度は Lebesgue 測度である．

$A$ 上の任意の複素数値可測関数 $f(x)$ について，
$\dsize\int_A |f(x)|^2\;dx < \infty$ ならば
$\dsize\int_A |f(x)|\;dx < \infty$ である．

\medskip
[3] 次のそれぞれの値を求めよ．

(1) $\dsize \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\;dx$

(2) $\dsize\lim_{N\to\infty}\int_{-N}^N \frac{\sin x}{x}\;dx$

(3) $\dsize \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{(1+x^2)^2}\;dx$

\bye