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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}\;}

\centerline{解析学VI期末テスト解答解説}
\rightline{2008年2月7日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

期末試験の配点は，各問25点の150点満点です．
平均点は，57.0点，最高点は133点(1人)で得点分布は次のとおりでした．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&&\omit &&\omit &\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--19 (点) && 20--39 && 40--49 && 50--59  && 60--69 && 70--79 && 80--89 &&
90--99 && 100-- & \cr
\vsp\t
& 2(人) && 13 && 3 && 6 && 6 && 4 && 4 && 1 && 4 & \cr
\vsp\t
}}$$

成績との対応は，40点未満がD，40点〜59点がC，60〜79点がB，
80点以上がAです．ただし，演習の
小テストの成績からプラスアルファがついている人が3人います．
この結果，A, B, C, Dの人数はそれぞれ，9, 10, 12, 12人となりました．
この成績が点数と共に赤字で答案左上に書いてあります．
また演習の成績は最初に言ったとおり，7回分のうち1番悪い1回分を
除いた平均点でつけます．この点数の最高点は86点(1人)，平均点は
48.7点で，その分布は次のとおりです．
(ただし欠席の回は0点として，4回以上受けた人をカウントしています．)

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit  &&\omit
&&\omit &&\omit &\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--19 (点) && 20--39 && 40--49 && 50--59  && 60--69 && 70--79
&& 80--89 & \cr
\vsp\t
&  0(人) &&  12 && 3 && 6 && 4 && 2 && 3 & \cr
\vsp\t
}}$$

この点数の成績との対応は，
30点未満がD，30点〜49点がC，50〜64点がB，65点以上がAとなって
おり，この成績が点数と共に青字で答案右上に書いてあります．
ただし，こちらも期末
試験がよくできたことによるプラスアルファがついている人が1人います．
この結果，A, B, C, Dの人数はそれぞれ，7, 8, 10, 5人となりました．
ただし，解析学特別演習II
はWeiss先生との共同担当なので，この成績にWeiss先生の分を総合した
ものが実際の成績表につくものとなります．

以下略解，解説をつけます．簡単に示せるところの説明は簡単に
すませてあります．実際の答案でもそのあたりはあまり厳しくつけて
ありません．

\bigskip [1]
(1) 普通に計算して
$a_0=8\pi^3/3$, $n\neq0$ のとき $a_n=4\pi^2 i/n+4\pi/n^2$ となります．

(2) 一様収束していれば $f(0)=f(2\pi)$ となるはずですが，
そうなっていないので，一様収束していません．
(一様絶対収束しているかを聞いているのではないので，
「$\sum_n|a_n|=\infty$ だから」では理由として不十分です．)

(3) $f$ が $L^2$ なので一般論より $L^2$-収束しています．

(4) $f$ が $(0,2\pi)$ で微分可能で，微分したものが有界なので，
一般論より $f$ に $(0,2\pi)$ 上で各点収束しています．したがって
ほとんどいたるところ $f$ に収束しています．

\medskip [2] Fourier 変換すると，$(\hat f)^2=\hat f$ より，
$\hat f$ のとりうる値は $0,1$ ですが，$\hat f$ は連続関数なので，
定数関数 0 か 1 に等しいことになります．(連続性を使わないで
いきなりこれを結論するのは飛躍です．) 無限遠点で 0 にならないと
いけないので，$\hat f=0$ すなわち $f=0$ (定数関数) が導かれ，
逆にこのとき $f*f=f$ であることは明らかです．

\medskip [3] 各 $n\in\Z$ に対し，コンパクト台の $C^\infty$ 関数
$\varphi_n$ で，
$\supp \varphi_n \subset [n-2/3,n+2/3]$,
$[n-1/3,n+1/3]$ 上で $\varphi_n(x)=1$,
$\sum_n \varphi_n(x)=1$ となるものが取れます．
このとき，$T=\sum_{n\in\Z} \varphi_n T$ で，
$\supp \varphi_n T \subset \{n\}$ となっています．このとき，
ある自然数 $m_n$ と，複素数 $c_{n,0},c_{n,1},\dots,c_{n,m_n}$
があって，$\varphi_n T=\sum_{k=0}^{m_n} c_{n,k} \delta_n^{(k)}$
となります．これより，
$T=\sum_{n\in\Z} \sum_{k=0}^{m_n} c_{n,k} \delta_n^{(k)}$
となります．収束に問題はなく，この形のものが超関数を与えて，
$\supp T\subset \Z$ となることはすぐわかります．
($m_n$ は $n$ に依存しています．これをただ $m$ と書いてはいけません．)

\medskip [4]
(1) $\{x\in\R \mid x>0\}$, $\{x\in\R \mid x<0\}$ の特性関数をそれぞれ，
$\chi_+,\chi_-$ とします．

$e^{-\xi} \chi_+(\xi)$ の Fourier 逆変換が $\frac{i}{2\pi(x+i)}$
であることより，$\frac{\pm i}{x\pm i}$ の Fourier 変換は
$2\pi \chi_\pm(\xi) e^{-|\xi|}$ となります．これを $x$ のところを
1次式で変数変換することにより，答えは，
$\alpha$ の虚部が正のとき，
$-2\pi i e^{i\alpha\xi}\chi_+(\xi)$,
$\alpha$ の虚部が負のとき，
$2\pi i e^{i\alpha\xi}\chi_-(\xi)$ です．

(2) $\beta=\exp(\pi i/4)$ とおくと
$$\frac{4}{1+x^4}=\frac{-\beta}{x-\beta}+
\frac{-\beta^3}{x-\beta^3}+
\frac{-\beta^5}{x-\beta^5}+
\frac{-\beta^7}{x-\beta^7}$$
であることより，(1) を使って，
$$\align
&\chi_+(\xi)\frac{\sqrt{2} \pi}{4} e^{-\xi/\sqrt{2}}
((1-i)e^{i\xi/\sqrt{2}}+(1+i)e^{-i\xi/\sqrt{2}})\\
+&\chi_-(\xi)\frac{\sqrt{2} \pi}{4} e^{\xi/\sqrt{2}}
((1-i)e^{-i\xi/\sqrt{2}}+(1+i)e^{i\xi/\sqrt{2}})\\
=&\frac{\pi}{\sqrt2}e^{-|\xi|/\sqrt{2}}
(\cos(|\xi|/\sqrt{2})+\sin(|\xi|/\sqrt{2}))\endalign$$
が答えです．

直接留数計算に持っていっても，$\xi$ の正負で積分路の
半円の取り方が分かれ，極が半円内に二つあるので，ほぼ同じ計算に
なります．

\medskip [5]
(1) 試験関数 $\varphi(x)$ を取ります．
$$\langle \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-N}^N a_n e^{inx}, \varphi\rangle=
\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-N}^N \hat\varphi(-n)$$
となりますが，まず $\hat\varphi\in {\Cal S}(\R)$ なのでこの
右辺は $N\to\infty$ のとき
収束します．さらに，${\Cal D}(\R)$ において
$\varphi_k\to 0$ であるとき，${\Cal S}(\R)$ においても
$\varphi_k\to 0$ なので，${\Cal S}(\R)$ において
$\hat\varphi_k\to 0$ となります．このとき
$\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty \hat\varphi_k(-n)\to0$なので，
$S$ が超関数として定まります．またこの計算から，
超関数列としての収束もわかります．

(2) $T=S$ を示します．試験関数 $\varphi(x)$ に対して
$$\langle S, \varphi\rangle= \sum_{n\in \Z}\frac{a_n}{2\pi}
\hat\varphi(-n)$$ です．
一方，$\tilde\varphi(x)=\sum_{n\in\Z} \varphi(x+2n\pi)$ と
おけば，これは $C^\infty$-関数を与えます．このとき，
$$\langle T, \varphi\rangle=\int_0^{2\pi} f(x)\tilde\varphi(x)\;dx$$
であることと，$\overline{\tilde\varphi(x)}$ の Fourier 係数が
$\overline{\hat\varphi(-n)}$ であることより，
$f$ が $L^2$-関数であれば，$\langle S, \varphi\rangle=
\langle T, \varphi\rangle$ が成り立っていることがわかります．
任意の $L^1([0,2\pi])$ の元 $f$ は，$L^1$-norm で
$L^2([0,2\pi])$ の元で近似できるので，結論の等式を得ます．

\medskip [6] Fourier 変換することにより，
$\hat T=\sum_{n=0}^\infty 2\pi a_n i^n \delta^{(n)}$ を得ます．この
右辺は ${\Cal S}'(\R)$ における収束です．右辺を有限和で止めたものの
台は $\{0\}$ に含まれるので，$\hat T$ の台も $\{0\}$ に含まれることに
なります．よって，$\hat T=\sum_{n=0}^N b_n \delta^{(n)}$ の形でなくては
なりません．原点の近傍で $x^n$ に等しい試験関数を使うことにより，
$n > N$ のとき，$a_n=0$ であることがわかります．

\bye