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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解説 (7)}
\rightline{2008年1月30日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は各問25点です．
平均点は48.1点，最高点は100点(1人)でした．

\medskip
[1] $(T*\varphi)(x)=\langle T, \tau_x \check\varphi \rangle$ なので，
$T$ は，試験関数 $\tau_x \check\varphi$ に $\varphi'(x)$ を対応させて
いることになります．これはすなわち，$\varphi$ に対して $-\varphi'(0)$ を
対応させているということです．よって，$T=\delta'$ です．

\medskip
[2] $T''+T=0$ を Fourier 変換して，$(1-\xi^2) \hat T=0$ を得ます．これは，
$\hat T=a \delta_1+b \delta_{-1}$ の形であることを意味します．
($a,b$ は複素定数です．) 逆 Fourier 変換して，
$T=a e^{ix} + b e^{-ix}$ となります．($a,b$ は任意の定数なので
$2\pi$ は無視しました．)

\medskip
[3] $\langle T, \tau_x \check\varphi\rangle=
\langle 1, \tau_x \check\varphi\rangle$ が任意の試験関数
$\varphi$ に対して成り立つので，
$T=1$ です．(右辺は定数関数 $1$ を表しています．)

\medskip
[4] 超関数として $f$ を2回微分すると，
$f''=\delta_{-2}-2\delta_{-1}+2\delta_1-\delta_2$ を得ます．これを
Fourier 変換して，
$-\xi^2 \hat f(\xi)=e^{2i\xi}-2e^{i\xi}+2e^{-i\xi}-e^{-2i\xi}$ となります．
$f,f'$ の Fourier 変換が $L^2$ であることより，
$\hat f(\xi)=(4i\sin\xi-2i\sin2\xi)/\xi^2$ となります．
これより求める答えは $s < 3/2$ です．

\bye