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\define\R{\bold R}
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\define\T{\bold T}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\sgn{\text{sgn}\;}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (7)}
\rightline{2008年1月29日 13:00--14:30}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．自筆ノートのみ持込可で行います．

\bigskip [1] $\R$ 上の超関数 $T$ は，任意の試験関数 $\varphi\in
{\Cal D} (\R)$ に対して，$T*\varphi=\varphi'$ を満たすとする．
このような $T$ をすべて求めよ．

\medskip [2] $\R$ 上の緩増加超関数 $T$ は，$T''+T=0$ を満たすとする．
このような $T$ をすべて求めよ．

\medskip [3] $\R$ 上の緩増加超関数 $T$ は，
任意の急減少関数 $\varphi\in
{\Cal S} (\R)$ に対して，$T*\varphi=\int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\;dx$ を
満たすとする．ただし右辺は定数関数を表す．
このような $T$ をすべて求めよ．

\medskip [4] 
$\R$ 上の次の関数は，どの範囲の Sobolev 空間 $H^s(\R)$ に入るか．
$s > 0$ の範囲を求めよ．
$$f(x)=\cases
0,&\quad x \le -2\text{の場合},\\
x+2,&\quad -2 \le x \le -1\text{の場合},\\
-x,&\quad -1 \le x \le 1\text{の場合},\\
x-2,&\quad 1 \le x \le 2\text{の場合},\\
0,&\quad x \ge 2\text{の場合}.\endcases$$

\bye