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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}
\def\sgn{\text{sgn}\;}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト解説 (6)}
\rightline{2008年1月21日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は，[1] 15$\times2$, [2] (1) 15点，(2) 10点，(3)15点，
[3] 15点$\times2$です．
平均点は48.0点，最高点は95点(1人)でした．

\medskip
[1] $N, c$ がとれて，任意の急減少関数 $\varphi$ に対して，
$|\lan T, \varphi\ran|\le c p_N(\varphi)$ となっています．
このとき，
$$|\lan xT,  \varphi\ran| = |\lan T,  x\varphi\ran|
\le c p_N(x\varphi) $$
であり，$p_N(x\varphi)\le (N+1) p_{N+1}(\varphi)$ なので
$xT$ も緩増加となります．同様に，
$$|\lan T',  \varphi\ran| = |\lan T,  \varphi'\ran|
\le c p_N(\varphi') $$
であり，$p_N(\varphi')\le p_{N+1}(\varphi)$ なので
$T'$ も緩増加となります．

言うまでもなく，$\varphi$ によらず，共通の $N,c$ が取れることが
重要なのですが，それがよくわかっていない人がかなりいました．

\medskip
[2] (1) 任意の試験関数 $\varphi$ の台はコンパクトなので
$\sum \sum_{n\in\Z} \langle \delta_n, \varphi\rangle$ は実際には
有限和です．試験関数の列 $\{\varphi_n\}_n$ が$\varphi$に収束している
ときも，すべての $\varphi_n$ の台が共通のコンパクト集合に含まれているので
$\sum_{n\in\Z} \delta_n$ が ${\Cal D}(\R)$ 上連続であることもわかります．

(2) 試験関数 $\varphi$ に対し，
$|\varphi(0)|\le p_0(\varphi) \le p_2(\varphi)$
であり，また 0 でない整数 $n$ について
$|\varphi(n)|\le  p_2(\varphi)/n^2$ であることより，適当な $C$ について
$|\sum_{n\in\Z} \varphi(n)| \le C p_2(\varphi)$ となります．
(たとえば $C=5$ と取れます．)
すなわち $\sum_{n\in\Z} \delta_n$ は緩増加です．

(3) Poisson の和公式が，そのまま $\sum_{n\in\Z} \delta_n$ の Fourier 
変換を与える式になっています．答えは $2\pi \sum_{n\in\Z} \delta_{2\pi n}$
です．

\medskip
[3] (1) $\sgn (\sin x)$ は有界なので簡単にできます．

(2) $T=\sgn (\sin x)$ とおくと，
$T'=2\sum_{n\in\Z} \delta_{2n\pi}-2\sum_{n\in\Z} \delta_{(2n+1)\pi}$
であることは簡単にわかります．これと，[2] (3) をあわせると，
$i\xi \hat T=2\sum_{n\in\Z} \delta_n - 2\sum_{n\in\Z} (-1)^n \delta_n$
となるので，この右辺は
$\sum_{n\in\Z} 4\delta_{2n+1}$ となります．
これより，$\hat T=-4i \sum_{n\in\Z} \frac{\delta_{2n+1}}{2n+1} + c\delta_0$
を得ます．ただし，$c$ は定数です．$\varphi(x)=\varphi(-x)$, $\varphi(0)\neq0$
となる試験関数 $\varphi$ での値を見ることにより，$c=0$ がわかるので，答えは
$-4i \sum_{n\in\Z} \frac{\delta_{2n+1}}{2n+1}$ です．

\bye