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\documentstyle{amsppt}

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\nopagenumbers
\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\T{\bold T}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\sgn{\text{sgn}\;}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (6)}
\rightline{2007年12月18日 13:00--14:30}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．自筆ノートのみ持込可で行います．


\bigskip [1] $T$ を $\R$  上の緩増加関数とする．
このとき，$xT$, $T'$ も緩増加超関数であることを示せ．
(このことは 12/17 の授業で「簡単にわかる」と言って証明なしに
使ったことです．定義や基本性質を使って証明してください．)

\medskip [2] (1)
$\sum_{n\in\Z} \delta_n$ が $\R$ 上の
超関数として収束することを示せ．

(2) $\sum_{n\in\Z} \delta_n$ が $\R$ 上の緩増加超関数
であることを示せ．

(3) $\sum_{n\in\Z} \delta_n$ の Fourier 変換を求めよ．

\medskip [3]
$x\in \R$ に対し，
$$\sgn x=\cases 1,&\quad{\text{if $x > 0$,}}\\
-1,&\quad{\text{if $x < 0$,}}\\
0,&\quad{\text{if $x = 0$,}}\endcases$$
と定める．

(1) $\sgn (\sin x)$ は $\R$ 上の緩増加超関数であることを示せ．

(2) $\sgn (\sin x)$  の Fourier 変換を求めよ．

\bye