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\centerline{解析学特別演習II・小テスト解説 (5)}
\rightline{2007年12月17日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は，各問25点です．
平均点は46.4点，最高点は100点(2人)でした．

\medskip
[1] そのような $f(x)$ が存在したとすると，
階段関数を $C_0^\infty$-関数で近似することにより，
任意の $t > 0$ に対して
$\int_{-t}^t f(x)\;dx=1$ でなくてはいけません．ここで $t\to0$ とすれば
積分の絶対連続性より左辺の極限は 0となるので矛盾です．

\medskip
[2] $T$ の $2$階微分が0とすると，$T'$ が超関数としてある定数$a$に等しいので，
$T-ax$ の超関数としての微分が0になります．これより $T-ax$ がある定数$b$に
等しくなり，$T=ax+b$を得ます．以下同様に帰納法により，$T$は
多項式に等しくなります．

\medskip
[3] $x=n\pi$ のところに気をつけて部分積分すれば，答えは
$-|\sin x| + 2 \sum_{n \in \Z} \delta_{n\pi}$ となります．(一つの試験関数
については，有限個の $n$ しか関係しないので収束の問題はありません．)

\medskip
[4] 試験関数 $\varphi$ に対し，
$$\int \varphi(x)\dfrac{1}{\e}f\left(\dfrac{x}{\e}\right)\;dx=
\int \varphi(\e x)f(x)\;dx$$
となります．$\varphi(\e x)$ は有界で，$f(x)$ は可積分なので，
$\e\to0+$としたときに Lebesgue の収束定理が使えて，右辺の極限は
$\varphi(0)\int f(x)\;dx$ となります．よって答えは
$(\int f(x) dx)\delta$ です．

\bye